C*-algebra: Różnice pomiędzy wersjami

'''C*-algebra''' (czyt. ''ce-gwiazdka-algebra''; czasami ''algebra typu C*'') – zespolona [[algebra Banacha]] ''A'' z dodatkowym działaniem [[*-pierścień|inwolucji]] *: ''A'' → ''A'' (''A'' jest więc [[*-pierścień|*-algebrą]]), spełniającym warunek

 

 

== Przykłady ==

* ''nieskończony'', gdy ''p'' ~ ''q'' dla pewnego właściwego rzutu ''q'' ∈ ''A'' spełniającego ''q'' ≤ ''p'',

* ''skończony'', gdy nie jest nieskończony.

Spośród rzutów nieskończonych wyróżnia się rzuty ''nieskończone w sposób właściwy'', tj. takie rzuty ''p'', dla których istnieją takie dwa rzuty ''p''₁, ''p''₂ ∈ ''A'', że ''p''₁''p''₂ = 0 (wzajemna ortogonalność), ''p''₁ + ''p''₂ ≤ ''p'' oraz ''p'' ~ ''p''₁ ~ ''p''₂.

 

 

== Elementy unitarne, twierdzenie Russo-Dyego ==

: ''Twierdzenie Russo-Dyego'': Niech ''A'' będzie C*-algebrą z jedynką oraz ''U'' niech będzie zbiorem elementów unitarnych w ''A''. Wówczas domknięta kula jednostkowa ''B''_''A'' jest równa [[Domknięcie (topologia)|domknięciu]] [[otoczka wypukła|otoczki wypukłej]] zbioru ''U'', tj.

:: <math>B_A = \overline{\mbox{conv}}\,U.</math>

Poniższy, elementarny dowód pochodzi od L.T. Gardnera<ref>L.T. Gardner, [http://www.ams.org/journals/proc/1984-090-01/S0002-9939-1984-0722439-8/S0002-9939-1984-0722439-8.pdf An Elementary proof of the Russo-Dye Theorem], ''[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc]]''. '''90''' (1984), 171.</ref>.

: ''Dowód''. Niech ''x'' ∈ ''A'' oraz ||''x''|| < 1. Wystarczy uzasadnić, że ''x'' należy do domknięcia zbioru conv ''U''. To sprowadza się jednak do pokazania, iż dla każdego ''u'' ∈ ''U'' element ''y'' = (''x'' + ''u'')/2 należy do domknięcia conv ''U''. Rzeczywiście,

:: (''y''*''y'')^1/2 = |''y''| = (''w'' + ''w''*) / 2,

: gdzie ''w'' = |''y''| + i(1 – |''y''|²)^1/2 jest również unitarne. Dowodzi, to że ''B''_''A'' – ''U'' ⊆ ''U'' + ''U''. Z powyższego wynika więc, że ''U'' zawiera się w zbiorze 2 · cl(conv ''U'') – ''x'', który jest domknięty i wypukły, a więc zawiera domknięcie conv ''U''. Równoważnie, (''x'' + cl(conv ''U'')) / 2 ⊆ cl(conv ''U''). Ciąg (''x''_''n'') ⊆ cl(conv ''U'') zdefiniwany rekurencyjnie: ''x''₀ – dowolny element ''U'' oraz ''x''_''n''+1 = (''x'' + ''x''_''n'') / 2 jest zbieżny do ''x''. □

O operatorze ''T'' na przestrzeni Hilberta mówi się, że jest ''dodatni'' (czasem ściślej: ''nieujemny''), gdy dla każdego elementu ''x'' z przestrzeni Hilberta spełniony jest warunek

: <math>\langle Tx, x\rangle \geqslant 0</math>.

Dodatniość operatora ''T'' jest równoważna istnieniu takiego operatora ''S'', że ''T'' = ''S S*''. Właśnie tę definicję przenosi się na ogólne C*-algebry i definiuje się pojęcie ''elementu dodatniego'' w C*-algebrze ''A'' jako takiego, który można przedstawić w postaci ''a'' = ''bb*'' dla pewnego elementu ''b'' C*-algebry ''A''. Dla elementu ''a'' C*-algebry następujące trzy warunki są równoważne:

# ''a'' jest elementem dodatnim;

# widmo elementu ''a'' zawiera się w nieujemnej półosi zbioru liczb rzeczywistych;

# istnieje taki element samosprzężony ''h'' w C*-algebrze ''A'', że ''a'' = ''h''².

Zbiór elementów dodatnich w C*-algebrze tworzy [[stożek (analiza funkcjonalna)|stożek]], oznaczany czasem symbolem ''A''₊. Stożek ten jest domknięty i [[zbiór wypukły|wypukły]] oraz spełnia warunek ''A''₊ ∩ -''A''₊ = {0}. W stożku ''A''₊ definiuje się [[częściowy porządek|porządek częściowy]] warunkiem ''a'' ≤ ''b'' wtedy i tylko wtedy, gdy element ''b'' – ''a'' jest dodatni.

 

# <math>\varphi(a^*b)=\overline{\varphi(b^*a)}</math>;

# <math>|\varphi(b^*a)|^2\leqslant \varphi(a^* a)\cdot \varphi (b^* b)</math>.

Powyższa nierówność jest więc pewną wersją [[nierówność Cauchy’ego-Schwarza|nierówności Cauchy’ego-Schwarza]]. Założenie warunku (C*) nie jest tu istotne – te same własności mają funkcjonały dodatnie na dowolnych *-algebrach Banacha.

 

# [[widmo (matematyka)|widmo]] każdego elementu ''f''_''n'' zawarte jest w [[Przedział (matematyka)|przedziale]] [0,1];

# lim ''x'' ''f''_''n'' = ''x''

Używając tego faktu dowodzi się, że

: Domknięte ideały w C*-algebrach są zamknięte ze względu na inwolucję. Innymi słowy, same są C*-algebrami.

Jeżeli ''J'' jest domkniętym ideałem w C*-algebrze ''A'' oraz (''f''_''n'')_''n'' oraz ''x'' ∈ ''J'', to ''x'' = lim ''x'' ''f''_n. Z drugiej strony, ''x''* = lim ''f''_n''x''*, ''f''_n''x''* ∈ ''J'' oraz ''J'' jest domknięty, więc ''x''* ∈ ''J''.

 

Przeciwnie niż w przypadku ideałów obustronnych, C*-algebry mają zawsze nietrywialne [[ideał (teoria pierścieni)|ideały lewostronne]]. Jeżeli φ jest funkcjonałem dodatnim w C*-algebrze ''A'', to zbiór

: <math>N_\varphi = \{a\in A\colon \varphi(a^*a)=0\}\,</math>

jest ideałem lewostronnym w ''A''. W C*-algebrze z jedynką każdy domknięty ideał lewostronny jest tej postaci (ogólniej, w dowolnej C*-algebrze każdy domknięty ideał modularny jest tej postaci).

 

{{Osobny artykuł|Iloczyny tensorowe C*-algebr}}

Niech ''A'' i ''B'' będą C*-algebrami. Algebraiczny [[iloczyn tensorowy]] ''A'' ⊗ ''B'' ma naturalną strukturę *-algebry. Każda norma ||·|| w ''A'' ⊗ ''B'' spełniająca warunek (C*) jest [[norma krzyżowa|normą krzyżową]] przestrzeni Banacha, tj.

Projektywny iloczyn tensorowy ⊗_''π'' (przestrzeni Banacha) nie spełnia na ogół warunku (C*).