Funkcja jednostajnie ciągła: Różnice pomiędzy wersjami

'''Jednostajna ciągłość''' jest– własnościąwłasność pewnej klasy funkcji, określonych między [[przestrzeń metryczna|przestrzeniami metrycznymi]]. Jednostajna ciągłość funkcji pociąga ciągłość, ale na ogół nie odwrotnie.

Niech <math>I</math> będzie przedziałem liczb rzeczywistych oraz niech <math>f:\colon I\to\mathbb{C}.</math> Funkcja <math>f</math> nazywana jest ''jednostajnie ciągłą'', gdy dla każdego <math>\varepsilon>0</math> istnieje takie <math>\delta>0,</math> że dla wszelkich <math>x,y\in I</math> zachodzi nierówność <math>\left\vert f(x)-f(y) \right\vert < \varepsilon,</math> o ile tylko <math>\left\vert x-y \right\vert < \delta.</math>

Definicję tę można ''[[mutatis mutandis]]'' uogólnić na funkcje określone na przestrzeniach metrycznych. Niech <math>(X,\varrho)</math> i <math>(Y,\sigma)</math> będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech <math>f:\colon X\to Y.</math> Funkcja <math>f</math> nazywana jest ''jednostajnie ciągłą'', gdy dla każdego <math>\varepsilon>0</math> istnieje takie <math>\delta>0,</math> że dla wszelkich <math>x,y\in X</math> zachodzi nierówność <math>\sigma (f(x),f(y))<\varepsilon,</math> o ile tylko <math>\varrho(x,y)<\delta.</math>

: ''Dowód''. Jeśli ''<math>f'':\colon ''X'' →\to ''Y''</math> jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami metrycznymi <math>(''X'', ''ϱ''\varrho)</math> i <math>(''Y'', ''σ''\sigma),</math> to ciągłość ''<math>f''</math> oznacza, że dla każdego punktu ''<math>x'' ∈\in ''X''</math> i każdego ''ε''<math>\varepsilon > 0</math> takie istnieje <math>\delta_{x,\varepsilon}>0</math> (indeks dolny przy <math>\delta</math> oznacza, że liczba ta zależy od ''<math>x''</math> i ''ε''<math>\varepsilon</math>) taka, że obraz <math>f(K(x,\delta_{x,\varepsilon}))</math> kuli <math>K(x,\delta_{x,\varepsilon})</math> o środku ''<math>x''</math> i promieniu <math>\delta_{x,\varepsilon}</math> zawiera się w kuli o środku ''<math>f''(''x'')</math> i promieniu ''ε''<math>\varepsilon.</math> Jednostajna ciągłość ''<math>f''</math> oznacza, że dla każdego ''ε''<math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie ''δ''<sub>''ε''</submath>\delta_\varepsilon > 0,</math> że obraz ''<math>f''(''K'')</math> dowolnej kuli ''<math>K''</math> o promieniu ''δ''<submath>''ε''\delta_\varepsilon</submath> zawiera się w kuli o promieniu ''ε''<math>\varepsilon.</math> Jednostajna ciągłość to zatem warunek silniejszy niż ciągłość.

2. Jeśli (''x''<submath>''n''(x_n)</submath>) jest [[Ciąg Cauchy’ego|ciągiem Cauchy’ego]] elementów przestrzeni ''<math>X''</math> oraz ''<math>f'':\colon ''X'' →\to ''Y''</math> jest jednostajnie ciągła, to ciąg <math>(''f''(''x''<sub>''n''x_n))</submath>)) jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni ''<math>Y''.</math>

: ''Dowód.'' Niech ''ε''<math>\varepsilon > 0.</math> Na mocy jednostajnej ciągłości ''<math>f'':\colon ''X'' →\to ''Y''</math> istnieje taka liczba ''δ''<math>\delta > 0,</math> że dla dowolnych ''<math>x'', ''y'' ∈\in ''X''</math> spełniających warunek ''ϱ''<math>\varrho(''x'', ''y'') < ''δ''\delta</math> zachodzi oszacowanie ''σ''<math>\sigma(''f''(''x''), ''f''(''y'')) < ''ε''\varepsilon.</math> Skoro (''x''<submath>''n''(x_n)</submath>) jest ciągiem Cauchy’ego, to istnieje taka liczba naturalna ''<math>N'',</math> że dla ''<math>n'', ''k'' ≥\geqslant ''N''</math> zachodzi ''ϱ''(''x''<sub>''n''</submath>\varrho(x_n, ''x''_''k''x_k) < ''δ''\delta,</math> a zatem ''σ''<math>\sigma(''f''(''x''_''n''x_n), ''f''(''x''_''k''x_k)) < ''ε''\varepsilon</math> dla ''<math>n'', ''k'' ≥\geqslant ''N''.</math> Dowodzi to, że ciąg <math>(''f''(''x''<sub>''n''x_n))</submath>)) jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni ''<math>Y''.</math> <math>_\square</math>

:: Niech ''<math>f'':\colon (0, 2) →\to ℝ\mathbb{R}</math> będzie funkcją daną wzorem ''<math>f''(''x'') = 1 / ''x'' (''x'' ∈\in (0, 2)).</math> Wówczas ciąg <math>(1 / ''n'')</math> jest ciągiem Cauchy’ego, jednak ''<math>f''(1 / ''n'') = ''n'',</math> czyli ciąg <math>(''f''(1 / ''n''))</math> nie jest ciągiem Cauchy’ego w ℝ<math>\mathbb{R}.</math> Wobec powyższego, ''<math>f''</math> nie jest jednostajnie ciągła.

3. Niech <math>(''X'', ''ϱ''\varrho)</math> będzie [[zbiór całkowicie ograniczony|całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną]] (np. ''<math>X''</math> jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła ''<math>f'':\colon ''X'' →\to ℂ\mathbb{C}</math> jest ograniczona.

: ''Dowód''. Dla ''ε''<math>\varepsilon = 1</math> niech ''δ''<math>\delta > 0</math> będzie takie, iż dla dowolnych ''<math>x'', ''y'' ∈\in ''X''</math> spełniających warunek ''ϱ''<math>\varrho(''x'', ''y'') < ''δ''\delta</math> zachodzi oszacowanie <math>| ''f''(''y'') –- ''f''(''x'') | < 1.</math> Niech ''K''<sub>1</submath>K_1, ''K''₂K_2, ...\dots, ''K''<sub>''n''K_n</submath> będzie ciągiem kul otwartych o promieniu ''δ''<math>\delta,</math> których suma jest równa ''<math>X''.</math> Niech ''x''<submath>''i''x_i</submath> będzie środkiem ''K''<sub>''i''</submath>K_i (''i'' ≤''\leqslant n'').</math> Niech

:: ''<math>M'' = \max\{| ''f''(''x''_''i''x_i) |:\colon ''i'' ≤\leqslant ''n''\}.</math>

: Ustalmy ''<math>y'' ∈\in ''X''.</math> Wówczas ''<math>y'' ∈\in ''K''<sub>''i''_''y''K_{i_y}</submath> dla pewnnegopewnego ''i''<sub>''y''</submath>i_y ≤\leqslant ''n''.</math> Ostatecznie

:: <math>| ''f''(''y'') | = | ''f''(''y'') –- ''f''(''x''_{''i''_''y''}x_{i_y}) + ''f''(''x''_{''i''_''y''}x_{i_y}) | ≤\leqslant 1 + ''M'',</math>

: co dowodzi ograniczoności ''<math>f''.</math> <math>_\square</math>

: ''Dowód''. Niech ''<math>f'':\colon ''X'' →\to ''Y''</math> będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą ''<math>L''.</math> Niech ''x''<sub>1</submath>x_1, ''x''<sub>2x_2 \in X</submath> ∈ ''X'' oraz niech dany będzie ''ε''<math>\varepsilon > 0.</math> Gdy ''δ''<math>\delta = ''ε''\varepsilon / ''L'',</math> to ''σ''<math>\sigma(''f''(''x''₁x_1), ''f''(''x''₂x_2)) ≤\leqslant ''L'' ''ϱ''(''x'',<sub/math>1 </submath>\varrho(x_1, ''x''₂x_2) ≤\leqslant ''L'' ''ε'' ,</math> ''<math>\varepsilon/L'' = ''ε''\varepsilon,</math> o ile tylko ''ϱ''(''x''<sub>1</submath>\varrho(x_1, ''x''₂x_2) ≤\leqslant ''δ''\delta.</math> <math>_\square</math>

5. Każda [[funkcja ciągła]] na [[przestrzeń zwarta|przestrzeni zwartej]] jest jednostajnie ciągła ('''[[Twierdzenietwierdzenie Heinego-Cantora]]''').

6. W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na [[Przedział (matematyka)|przedziale domkniętym]] [''<math>a'', ''b''</math>] jest jednostajnie ciągła. Na [[Przedział (matematyka)|przedziale otwartym]] już tak nie musi być, na przykład funkcja ''<math>f''(''x'') = 1 / ''x''</math> na przedziale (0, 1) jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągła.