|
'''Twierdzenie Gerszgorina''' -– twierdzenie pozwalające nałożyć ograniczenia na [[wartośćWektory własnai wartości własne|wartości własne]] [[macierz]]y o współczynnikach [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] lub [[liczby zespolone|zespolonych]]. Po raz pierwszy zostało opublikowane w roku 1931 przez matematyka pochodzenia [[Białoruś|białoruskiego]], [[Siemion Gerszgorin|Siemiona Gerszgorina]].
== Treść twierdzenia oraz dowód ==
Niech ''<math>A''</math> będzie kwadratową macierzą zespoloną o rozmiarze ''<math>n''×'' \times n''</math> z elementami (''a''<submath>''(a_{ij''}).</submath>). Dla ''<math>i'' ∈\in \{1, …\dots ''n''\}</math> niech ''R''<sub>''i''</submath>R_i = ∑<sub>''\Sigma_{j'' ≠\neq ''i''</sub>} |''a''<sub>''a_{ij''}|</submath>| gdzie |''a''<submath>''|a_{ij''}|</submath>| oznacza [[ModułWartość liczby zespolonejbezwzględna|moduł]] z liczby ''a''<submath>''a_{ij''}.</submath>. Niech ''<math>D''(''a''<sub>''a_{ii''</sub>}, ''R''<sub>''i''R_i)</submath>) będzie domkniętym [[Koło|kołem]] o środku w ''a''<submath>''a_{ii''}</submath> i promieniu ''R''<submath>''i''R_i.</submath>. Takie koła są nazywane ''kołami Gerszgorina''.
'''Twierdzenie Gerszgorina''': każda wartość własna macierzy ''<math>A''</math> leży wewnątrz lub na brzegu przynajmniej jednego z kół ''D''(''a''<submath>''D(a_{ii''</sub>}, ''R''<sub>''i''R_i).</submath>).
''Dowód'': Niech ''λ''<math>\lambda</math> będzie wartością własną ''<math>A''</math> oraz '''<math>\mathbf{x'''} = (''x''<sub>''j''x_j)</submath>) odpowiadającym jej wektorem własnym. Niech ''<math>i'' ∈\in \{1,\dots … ''n''\}</math> będzie takie, iż |''x''<sub>''i''</submath>|x_i| = \max<sub>''j''</sub>{}_j |''x''<sub>''j''x_j|.</submath>|. Wtedy |''x''<sub>''i''</submath>|x_i| > 0,</math> gdyż w przeciwnym wypadku '''<math>\mathbf{x'''} = 0,</math> co nie może zajść dla wektorów własnych (nie są one wektorami zerowymi). Z równania na wartości własne macierzy mamy ''<math>A''''' \mathbf{x'''} = λ'''\lambda \mathbf{x'''}</math> lub równoważnie (rozpisując zapis macierzowo – -wektorowy):
: <math> \ sum_{j}sum_j a_{ij} x_{j}x_j = \lambda x_{i}x_i \quad \forall i \in \{1, \ ldotsdots, n\} </math> ▼
obustronnie odejmując <math>a_{ii} x_i</math> dostajemy:
▲:<math> \sum_{j} a_{ij} x_{j} = \lambda x_{i} \quad \forall i \in \{1, \ldots, n\} </math>
: <math> \sum_{j \neq i} a_{ij} x_{j}x_j = \lambda x_{i}x_i-a_{ii} x_{i}x_i. </math> ▼
I dzielimy obustronnie odejmującprzez <math>a_{ii}x_i</math> (z wyboru x_{i} wiemy, że <math>x_i \neq 0</math>), a także obkładamy dostajemymodułami:
: <math> |\lambda - a_{ii}| = \left|\frac{\sum_{j\ne i} a_{ij} x_{j}x_j}{ x_{i}x_i}\right| \leqslant \sum_{j\ne i} |a_{ij}| = R_i .</math> ▼
Ostatnia nierówność jest poprawna, gdyż z warunku |''x''< sub>''i''</submath> |x_i| = \max <sub>''j''</sub>{}_j | ''x''<sub>''j''x_j|</ submath> | mamy ▼▲:<math> \sum_{j \neq i} a_{ij} x_{j} = \lambda x_{i}-a_{ii} x_{i}. </math>
: <math>\left| \frac{ x_{j}x_j}{ x_{i}x_i} \right| \leqslant 1 \quad \forall j \neq i. </math> ▼
I dzielimy obustronnie przez <math> x_{i} </math> (z wyboru i wiemy, że <math> x_{i} \neq 0 </math>), a także obkładamy modułami:
▲:<math> |\lambda - a_{ii}| = \left|\frac{\sum_{j\ne i} a_{ij} x_{j}}{x_{i}}\right| \leqslant \sum_{j\ne i} |a_{ij}| = R_i</math>
▲Ostatnia nierówność jest poprawna, gdyż z warunku |''x''<sub>''i''</sub>| = max<sub>''j''</sub> |''x''<sub>''j''</sub>| mamy
▲:<math>\left| \frac{x_{j}}{x_{i}} \right| \leqslant 1 \quad \forall j \neq i. </math>
□
Ponieważ wartości własne macierzy ''A''<supmath>A^\mathrm{T}</supmath> są takie same jak macierzy ''<math>A'',</math> twierdzenie to można wzmocnić – wszystkewszystkie wartości własne macierzy ''<math>A''</math> muszą leżeć na przecięciu sumy kół Gerszgorina macierzy ''<math>A''</math> i sumy kół dla macierzy ''A''<supmath>A^\mathrm{T}.</supmath>.
W szczególnym przypadku dla [[Macierz diagonalna|macierzy diagonalnej]] mamy, że wartości własne muszą być równe elementom leżącym na głównej przekątnej.
== Bibliografia ==
* S. Gerschgorin, ''Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. ''Izv, „Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk''Nauk” '''7''' (1931), s. 749–754.
* R. S. Varga, ''Geršgorin and His Circles.'', Berlin: Springer-Verlag, 2004. {{ISBN|3-540-21100-4}}. [http://www.math.kent.edu/~varga/pub/corrections.pdf Errata].
* A. Turowicz, ''Geometria zer wielomianów'', PWN, Warszawa 1967.
== Linki zewnętrzne ==
* Eric W. Weisstein., "[http://mathworld.wolfram.com/GershgorinCircleTheorem.html ''Gershgorin Circle Theorem'']." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
* Semyon Aranovich Gershgorin biography at [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Gershgorin.html MacTutor]
[[Kategoria:Twierdzenia algebry liniowej|Gerszgorina]]
| 