Liczby wymierne: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 1498 bajtów ,  1 rok temu
→‎Własności: uzupełniam o dowód umieszczonej tu własności
(drobne redakcyjne)
(→‎Własności: uzupełniam o dowód umieszczonej tu własności)
* Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem [[liczby naturalne|liczb naturalnych]], czyli jest to [[zbiór przeliczalny]] (co oznacza się <math>|\mathbb Q| = \aleph_0</math>).
* Jako podzbiór przestrzeni [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\mathbb R,</math> liczby wymierne są [[zbiór gęsty|gęste]] w <math>\mathbb R.</math>
 
:'''Dowód''' Wystarczy wykazać, że dla każdych <math>x,y\in \mathbb R,\; 0\leqslant x<y</math> istnieje liczba wymierna <math>u\in \mathbb Q, \; x<u<y.</math>
 
:Jeśli <math>x,y</math> są wymierne, to <math>u=\tfrac{x+y}{2}</math> spełnia tezę. <br/>Niech więc np. <math>x</math> jest niewymierne. Ponieważ <math>\mathbb R</math> jest [[ciało archimedesowe|ciałem archimedesowym]], istnieje <math>q\in \mathbb N</math> takie, że <math>q>\frac{1}{y-x}</math>, stąd <math>1<q(y-x)</math>. <br/>Z drugiej strony istnieje <math>p\in\mathbb N</math> takie, że <math>p>qx</math>, niech <math>p_0</math> będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że <math>qx<p_0<qx+1</math>. Rzeczywiście, gdyby <math>p_0\geqslant qx+1</math>, to byłoby <math>p_0-1\geqslant qx</math>. Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc <math>p_0-1>qx</math> wbrew temu, że <math>p_0</math> jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych <math>p</math> o własności <math>p>qx</math>.<br/> Ostatecznie <math>qx<p_0<qx+1</math> łącznie z warunkiem <math>1<q(y-x)</math> daje
::<math>qx<p_0<qx+ q(y-x)=qy </math>
:czyli
::<math>x<\frac{p_0}{q}<y. </math>
:Jeśli <math>y</math> jest niewymierne, wystarczy znaleźć <math>n\in \mathbb N</math> takie, że <math>n>y</math> i znaleźć <math>u\in \mathbb Q</math> spełniające <math>n-y<u<n-x</math>. Wówczas <math>n-u\in \mathbb Q</math> i <math>x<n-u<y.</math>
 
== Zobacz też ==