Liczby wymierne: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 704 bajty ,  2 lata temu
→‎Własności: „dopieszczenie” dowodu
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
(→‎Własności: uzupełniam o dowód umieszczonej tu własności)
(→‎Własności: „dopieszczenie” dowodu)
* Jako podzbiór przestrzeni [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\mathbb R,</math> liczby wymierne są [[zbiór gęsty|gęste]] w <math>\mathbb R.</math>
 
:'''Dowód'''Dla Wystarczywykazania wykazaćtej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych <math>x,y\in \mathbb R,\; 0\leqslant x<y</math> istnieje liczba wymierna <math>u\in \mathbb Q, \; x<u<y.</math>
:'''Dowód''' Gdyby <math>x,y</math> były wymierne, to oczywiście <math>u=\tfrac{x+y}{2}</math> spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród <math>x,y</math> jest niewymierne.
 
:*Jeśli <math>x<0<y</math>, to można przyjąć <math>u=0.</math>
:Jeśli <math>x,y</math> są wymierne, to <math>u=\tfrac{x+y}{2}</math> spełnia tezę. <br/>Niech więc np. <math>x</math> jest niewymierne. Ponieważ <math>\mathbb R</math> jest [[ciało archimedesowe|ciałem archimedesowym]], istnieje <math>q\in \mathbb N</math> takie, że <math>q>\frac{1}{y-x}</math>, stąd <math>1<q(y-x)</math>. <br/>Z drugiej strony istnieje <math>p\in\mathbb N</math> takie, że <math>p>qx</math>, niech <math>p_0</math> będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że <math>qx<p_0<qx+1</math>. Rzeczywiście, gdyby <math>p_0\geqslant qx+1</math>, to byłoby <math>p_0-1\geqslant qx</math>. Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc <math>p_0-1>qx</math> wbrew temu, że <math>p_0</math> jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych <math>p</math> o własności <math>p>qx</math>.<br/> Ostatecznie <math>qx<p_0<qx+1</math> łącznie z warunkiem <math>1<q(y-x)</math> daje
:*Jeśli <math>0=x<y</math>, to ponieważ <math>\mathbb R</math> jest niewymierne[[ciało archimedesowe|ciałem archimedesowym]], to wystarczy znaleźćwskazać <math>n\in \mathbb N</math> takie, że <math>n>\tfrac{1}{y}</math>, i znaleźćczyli <math>u0<\in \mathbb Qtfrac{1}{n}<y.</math><br/>Podobnie spełniającegdy <math>n-x<y<u<n-x=0</math>., Wówczaswskazujemy <math>n>\tfrac{1}{-u\in \mathbb Qx}</math> i wówczas <math>x<n\tfrac{1}{-un}<y0.</math>
::<math>qx<p_0<qx+ q(y-x)=qy </math>
:Jeśli*Niech więc <math>x,y</math> są wymierne, to 0<math>u=\tfrac{x+<y}{2}</math> spełniai tezę. <br/>Niech więcniech np. <math>x</math> jest niewymierne. Ponieważ <math>\mathbb R<br/math> jestDla [[ciało archimedesowe|ciałem archimedesowym]], istniejepewnego <math>q\in \mathbb N</math> takie, żezachodzi <math>q>\fractfrac{1}{y-x}</math>, stąd <math>1<q(y-x)</math>. <br/>Z drugiej strony istnieje <math>p\in\mathbb N</math> takie, że <math>p>qx</math>, niech <math>p_0</math> będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że <math>qx<p_0<qx+1</math>. Rzeczywiście, gdyby <math>p_0\geqslant qx+1</math>, to byłoby <math>p_0-1\geqslant qx</math>. Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc <math>p_0-1>qx</math> wbrew temu, że <math>p_0</math> jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych <math>p</math> o własności <math>p>qx.</math>.<br/> Ostatecznie <math>qx<p_0<qx+1</math> łącznie z warunkiem <math>1<q(y-x)</math> daje
:czyli
:::<math>xqx<\frac{p_0}{q}<qx+ q(y.-x)=qy </math>
::czyli
:Jeśli <math>y</math> jest niewymierne, wystarczy znaleźć <math>n\in \mathbb N</math> takie, że <math>n>y</math> i znaleźć <math>u\in \mathbb Q</math> spełniające <math>n-y<u<n-x</math>. Wówczas <math>n-u\in \mathbb Q</math> i <math>x<n-u<y.</math>
:::<math>qxx<\frac{p_0<qx+ }{q(}<y-x)=qy. </math>
::Jeśli <math>y</math> jest niewymierne i <math>x</math> wymierne, to wystarczy znaleźć <math>n\in \mathbb N</math> takie, że <math>n>y</math> i znaleźć jak poprzednio <math>u\in \mathbb Q</math> spełniające <math>0<n-y<u<n-x</math>. Wówczas <math>n-u\in \mathbb Q</math> i <math>x<n-u<y.</math>
:*Jeśli <math>x<y<0</math>, to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie <math>u\in \mathbb Q</math> spełniające <math>0<-y<u<-x</math> i wówczas <math>x<-u<y.</math>
 
== Zobacz też ==