Liczby wymierne: Różnice pomiędzy wersjami

'''Liczby wymierne''' – [[Liczba|liczby]], które można zapisać w postaci [[Dzielenie|ilorazu]] dwóch [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], w którym dzielnik jest różny od [[0 (liczba)|zera]]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą [[Ułamek|ułamka zwykłego]]. [[Zbiór]] liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem <math>\mathbb Q.</math> Wobec tego:

Niech w zbiorze [[para uporządkowana|par]] liczb całkowitych <math>(a,b) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^*,</math> których następnik jest różny od [[0 (liczba)|zera]], dana będzie [[relacja równoważności]]

: Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych <math>x,y\in \mathbb R,\; x<y</math> istnieje liczba wymierna <math>u\in \mathbb Q, \; x<u<y.</math>

: '''Dowód''' Gdyby <math>x,y</math> były wymierne, to oczywiście <math>u=\tfrac{x+y}{2}</math> spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród <math>x,y</math> jest niewymierne.

:* Jeśli <math>x<0<y,</math>, to można przyjąć <math>u=0.</math>

:* Jeśli <math>0=x<y,</math>, to ponieważ <math>\mathbb R</math> jest [[ciało archimedesowe|ciałem archimedesowym]], to wystarczy wskazać <math>n\in \mathbb N</math> takie, że <math>n>\tfrac{1}{y},</math>, czyli <math>0<\tfrac{1}{n}<y.</math><br />Podobnie gdy <math>x<y=0,</math>, wskazujemy <math>n>\tfrac{1}{-x}</math> i wówczas <math>x<\tfrac{1}{-n}<0.</math>

:* Niech więc <math> 0<x<y</math> i niech np. <math>x</math> jest niewymierne.<br /> Dla pewnego <math>q\in \mathbb N</math> zachodzi <math>q>\tfrac{1}{y-x},</math>, stąd <math>1<q(y-x).</math>. <br />Z drugiej strony istnieje <math>p\in\mathbb N</math> takie, że <math>p>qx,</math>, niech <math>p_0</math> będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że <math>qx<p_0<qx+1.</math>. Rzeczywiście, gdyby <math>p_0\geqslant qx+1,</math>, to byłoby <math>p_0-1\geqslant qx.</math>. Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc <math>p_0-1>qx</math> wbrew temu, że <math>p_0</math> jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych <math>p</math> o własności <math>p>qx.</math><br /> Ostatecznie <math>qx<p_0<qx+1</math> łącznie z warunkiem <math>1<q(y-x)</math> daje

::: <math>qx<p_0<qx+ q(y-x)=qy </math>

:: czyli

::: <math>x<\frac{p_0}{q}<y. </math>

:: Jeśli <math>y</math> jest niewymierne i <math>x</math> wymierne, to wystarczy znaleźć <math>n\in \mathbb N</math> takie, że <math>n>y</math> i znaleźć jak poprzednio <math>u\in \mathbb Q</math> spełniające <math>0<n-y<u<n-x.</math>. Wówczas <math>n-u\in \mathbb Q</math> i <math>x<n-u<y.</math>

:* Jeśli <math>x<y<0,</math>, to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie <math>u\in \mathbb Q</math> spełniające <math>0<-y<u<-x</math> i wówczas <math>x<-u<y.</math>