Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa: Różnice pomiędzy wersjami

m
m (przenoszę szablon {{Ogólna teoria względności}} na koniec artykułu)
m (WP:SK+Bn)
 
'''Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa''' (równanie TOV) – szczególny przypadek [[RównaniaRównanie Einsteina|równań Einsteina]], jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym [[Równanie stanu (termodynamika)|równaniem stanu]]. Stosowane jest przede wszystkim przy modelowaniu budowy [[Gwiazda|gwiazd]] o bardzo silnym [[Pole grawitacyjne|polu grawitacyjnym]] (na przykład [[Gwiazda neutronowa|gwiazd neutronowych]]).
 
== Założenia ==
Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną [[Przestrzeń metryczna|metrykę]] sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób:
::::: <math>ds^2=e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - e^{\lambda(r)}dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta\, d\varphi^2),\, </math>
 
gdzie standardowo ''t'' jest współrzędną czasową, ''r'' radialną a ''θ'' i ''φ'' kątowymi (odpowiednio, [[Sferyczny układ współrzędnych|zenitalną i azymutalną]]).
gdzie standardowo:
Zakładamy także, że materia jest [[Lepkość|nielepka]], nie [[Przewodzenie ciepła|przewodzi ciepła]] i nie wykazuje [[ścinanie|napięć ścinających]] tj. [[tensor napięć-energii]] jest taki jak dla [[Płyn doskonały|płynu doskonałego]] w [[Ogólna teoria względności|Ogólnej Teorii Względności]]. Biorąc pod uwagę barotropowe [[Równanie stanu (termodynamika)|równanie stanu]] (ciśnienie ''p'' jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii ''ρ''), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną ''ν(r)'':
: <math>t</math> – współrzędna czasowa,
::::: <math>\frac{d\nu(r)}{dr}=-\frac{2}{P(r)+\rho(r)c^2} \frac{dP(r)}{dr},</math>
: <math>r</math> – radialna,
funkcją ''λ(r)'':
: <math>\theta</math> i <math>\varphi</math> – kątowe (odpowiednio, [[Układ współrzędnych sferycznych|zenitalna i azymutalna]]).
::::: <math>e^{\lambda(r)} = \frac{1}{(1-2GM(r)/rc^2)},</math>
 
a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu ''r'' a promieniem tej sfery, ''M(0)=0'':
Zakładamy także, że materia jest [[Lepkość|nielepka]], nie [[Przewodzenie ciepła|przewodzi ciepła]] i nie wykazuje [[ścinanie|napięć ścinających]], tj. [[tensor napięć-energii]] jest taki jak dla [[Płyn doskonałyidealny|płynu doskonałego]] w [[Ogólna teoria względności|Ogólnej Teorii Względności]]. Biorąc pod uwagę barotropowe [[Równanie stanu (termodynamika)|równanie stanu]] (ciśnienie ''<math>p''</math> jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii ''ρ''<math>\rho</math>), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną ''ν<math>\nu(r)''{:}</math>
::::: <math>\frac{dM(r)}{dr}=4 \pi \rho(r) r^2.</math>
::::: <math>\frac{d\nu(r)}{dr}=-\frac{2}{P(r)+\rho(r)c^2} \frac{dP(r)}{dr},</math>
Przy tych założeniach [[równania Einsteina]] redukują się do
 
::::: <math>
funkcją <math>\lambda(r){:}</math>
\frac{dP}{dr} = - \frac{GM(r)\rho(r)}{r^2}
::::: <math>e^{\lambda(r)} = \frac{1}{(1-2GM(r)/rc^2)},</math>
 
a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu ''<math>r''</math> a promieniem tej sfery, ''<math>M(0)=0''{:}</math>
::::: <math>\frac{dM(r)}{dr}=4 \pi \rho(r) r^2.</math>
 
Przy tych założeniach [[Równanie Einsteina|równania Einsteina]] redukują się do
::::: <math>
\frac{dP}{dr} = - \frac{GM(r)\rho(r)}{r^2}
\left(1+\frac{P(r)}{\rho(r)c^2}\right)
\left(1+\frac{4{\pi}r^3P(r)}{M(r)c^2}\right)
\left(1-\frac{2GM(r)}{rc^2}\right)^{-1},.</math>
 
</math>
[[Plik:TOV solution neutron quark star mass radius diagram.png|thumb|450px|Rozwiązanie równania TOV dla dwu reprezentatywnych równań stanu. Linia czerwona: gwiazda neutronowa (skład materii): npeμ, oddziaływanie jądrowe typu Skyrme-Lyon<ref>F. Douchin, P. Haensel, ''A unified equation of state of dense matter and neutron star structure'', Astron„Astron. Astrophys. 380, 151 (2001).</ref>. Linia niebieska: "naga"„naga” (tj. bez skorupy) gwiazda kwarkowa o równaniu stanu opisywanym modelem "worka"„worka” MIT o stałej sprzężenia α<math>\alpha=0.{,}17,</math> stałej worka B=60 MeV/fm<sup>3</sup>³, masie kwarku dziwnego m<sub>s</sub>=200 MeV. Kropkami zaznaczono masy maksymalne (granice TOV).]]
równanieRównanie TOV jest zatem niutonowskimnewtonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach).
 
=== Warunki brzegowe ===
Jeśli równanie opisuje [[Gwiazda neutronowa|gwiazdę]] w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych:
* znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, ''<math>p(R)&nbsp; =&nbsp; 0''</math> (warunek ten wyznacza współrzędną ''<math>r&nbsp; =&nbsp; R'',</math> czyli promień gwiazdy),
* zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym [[Metryka Schwarzschilda|metryką Schwarzschilda]]:
 
dla ''r≥R''<math>r\geqslant R</math> funkcja metryczna ''e<supmath>νe^{\nu(r)</sup>&nbsp;} =&nbsp; 1&nbsp; -&nbsp; 2GM/rc<sup>^2,</supmath>'', gdzie ''<math>M''</math> jest całkowitą grawitacyjną masą [[Gwiazda neutronowa|gwiazdy]] mierzoną przez odległego obserwatora.
 
=== Masa grawitacyjna, masa właściwa, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej ===
Całkowita '''masa grawitacyjna''' ''<math>M''</math> gwiazdy (mierzona przez odległego obserwatora znajdującego się np. na orbicie wokół gwiazdy), występująca w metryce dla odległości większych od promienia gwiazdy ''<math>R'',</math> wyraża się następującym wzorem:
::::: <math>M=M_g(R)=4\pi\int_0^{R} \rho(r)r^2 dr\,.</math>
 
Pamiętając o tym, że element objętości ''<math>dV''</math> pomiędzy sferami o promieniach ''<math>r''</math> oraz ''<math>r&nbsp;+&nbsp;dr''</math> jest równy
::::: <math>dV = \frac{4\pi r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,,</math>
można definiować&nbsp;dwie inne charakterystyczne masy wynikające z równania TOV. '''Masą&nbsp;właściwą''' ''M<sub>p</sub>'' [[Gwiazda neutronowa|gwiazdy]] nazywa się całkę gęstości masy-energii po objętości, biorąc pod uwagę lokalne zakrzywienie przestrzeni przez masę&nbsp;''M(r)'',
 
::::: <math>M_p=M_p(R)=\int_0^{R} \rho dV = 4\pi\int_0^{R} \frac{\rho(r)r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,.</math>
można definiować&nbsp; dwie inne charakterystyczne masy wynikające z równania TOV. '''Masą&nbsp; właściwą''' ''M<submath>pM_p</submath>'' [[Gwiazda neutronowa|gwiazdy]] nazywa się całkę gęstości masy-energii po objętości, biorąc pod uwagę lokalne zakrzywienie przestrzeni przez masę&nbsp;'' <math>M(r)'', </math>
Jako, że
::::: <math>M_p=M_p(R)=\int_0^R \rho dV = 4\pi\int_0^R \frac{1\rho(r)r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \ge 1 \implies M_p \ge M_g\,.</math>
 
Liczba barionów w objętości gwiazdy jest równa
Jako, że
::::: <math>A_b=4\pi\int_0^{R} \frac{ n_b(r) r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \,,</math>
:: <math>\frac{1}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \geqslant 1 \implies M_p \geqslant M_g.</math>
gdzie ''n<sub>b</sub>(r)'' jest gęstością barionową, tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo ''[[Femtometr|fm<sup>3</sup>]]''). ''A<sub>b</sub>'' dla [[Gwiazda neutronowa|gwiazdy neutronowej]] o typowej masie grawitacyjnej 1,4 [[Masa Słońca|masy Słońca]] jest rzędu 10<sup>57</sup> cząstek.
 
[[Plik:TOV solution homogeneous star mass radius diagram.png|thumb|450px|Diagram masa-promień dla sferycznej gwiazdy o stałej gęstości 10<sup>15</sup> g/cm<sup>3</sup> (linia czerwona), z zaznaczoną masą maksymalną (czerwona kropka) wynikającą z ograniczenia pochodzącego z rozwiązania równania TOV (niebieska linia).]]
Liczba barionów w objętości gwiazdy jest równa
''Masa barionowa'' (zwana również [[Masa spoczynkowa|masą spoczynkową]]) jest równa liczbie barionowej ''A<sub>b</sub>'' gwiazdy pomnożonej przez masę [[barion]]u
::::: <math>M_pA_b=M_p(R)=\int_0^{R} \rho dV = 4\pi\int_0^{R} \frac{\rho n_b(r) r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,.</math>
''m<sub>b</sub>≈[[Nukleony|m<sub>n</sub>]]'':
 
::::: <math>M_b=m_bA_b\,.</math>
gdzie:
Zdefiniowane wyżej masy używa się&nbsp;do obliczenia [[Energia wiązania|energii wiązania]]. Różnica
: <math>n_b(r)</math> jest gęstością barionową, tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo ''[[Femtometr|fm³]]''),
::::: <math>E_G=\left(M_g-M_p\right)c^2\,.</math>
gdzie: ''n<submath>bA_b</submath>(r)'' jest gęstością barionową, tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo ''[[Femtometr|fm<sup>3</sup>]]''). ''A<sub>b</sub>'' dla [[Gwiazda neutronowa|gwiazdy neutronowej]] o typowej masie grawitacyjnej 1,4 [[Masa Słońca|masy Słońca]] jest rzędu 10<sup>57</sup> cząstek.
jest ''energią grawitacyjną'' gwiazdy (energią zmagazynowaną&nbsp;w gwieździe, którą można odzyskać przenosząc małe elementy ''dm'' do nieskończoności). Grawitacyjna [[energia wiązania]] to
 
::::: <math>BE_G=-E_B=\left(M_p-M_g\right)c^2\,.</math>
[[Plik:TOV solution homogeneous star mass radius diagram.png|thumb|450px|Diagram masa-promień dla sferycznej gwiazdy o stałej gęstości 10<sup>15</sup> g/cm<sup>3</sup>³ (linia czerwona), z zaznaczoną masą maksymalną (czerwona kropka) wynikającą z ograniczenia pochodzącego z rozwiązania równania TOV (niebieska linia).]]
''Energia wewnętrzna'' gwiazdy (energia pochodząca z równania stanu, bez uwzględnienia gęstości spoczynkowej), to
''Masa barionowa'' (zwana również [[Masa spoczynkowa|masą spoczynkową]]) jest równa liczbie barionowej ''A<submath>bA_b</submath>'' gwiazdy pomnożonej przez masę [[barion]]u <math>m_b \approx</math> ''[[Nukleony|m<sub>n</sub>]]'':
::::: <math>E_I=\left(M_p-M_b\right)c^2\,,</math>
::::: <math>M_b=m_bA_b\,.</math>
z podobnie jak poprzednio zdefiniowaną&nbsp;wewnętrzną&nbsp;[[Energia wiązania|energią wiązania]]
 
::::: <math>BE_I=-E_I=\left(M_b-M_p\right)c^2\,.</math>
Zdefiniowane wyżej masy używa się&nbsp; do obliczenia [[Energia wiązania|energii wiązania]]. Różnica
'''Całkowita energia wiązania''' gwiazdy to zatem
::::: <math>BEE_G=BE_G + BE_I= \left(M_bM_g-M_gM_p\right)c^2\,.</math>
 
Dla typowego równania stanu, [[gwiazda neutronowa]] o masie M=1,4 [[Masa Słońca|masy Słońca]] jest związana energią wiązania ''BE≈0,1M''.
jest ''energią grawitacyjną'' gwiazdy (energią zmagazynowaną&nbsp; w gwieździe, którą można odzyskać przenosząc małe elementy ''<math>dm''</math> do nieskończoności). Grawitacyjna [[energia wiązania]] to
::::: <math>BE_G=-E_B=\left(M_p-M_g\right)c^2\,.</math>
 
''Energia wewnętrzna'' gwiazdy (energia pochodząca z równania stanu, bez uwzględnienia gęstości spoczynkowej), to
::::: <math>E_GE_I=\left(M_gM_p-M_pM_b\right)c^2\,.</math>
 
z podobnie jak poprzednio zdefiniowaną&nbsp; wewnętrzną&nbsp; [[Energia wiązania|energią wiązania]]
::::: <math>BE_I=-E_I=\left(M_p-M_b-M_p\right)c^2\,,.</math>
 
'''Całkowita energia wiązania''' gwiazdy to zatem
::::: <math>BE=BE_G + BE_I=-E_I= \left(M_b-M_pM_g\right)c^2\,.</math>
 
Dla typowego równania stanu, [[gwiazda neutronowa]] o masie <math>M=1{,}4</math> [[Masa Słońca|masy Słońca]] jest związana energią wiązania ''BE≈0<math>BE\approx0{,}1M''.</math>
 
=== Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej ===
W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne, tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. można otrzymać tylko numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu ρ&nbsp;<math>\rho =&nbsp;'' \mathrm{const}.''</math> Mamy wtedy:
::::: <math>M(r)=\frac{4}{3}\pi\rho r^3.</math>
 
Korzystając z tego związku, równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy:
::::: <math>\frac{p(r)}{\rho} = \frac{\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}-\sqrt{1-2GM/Rc^2}}{3\sqrt{1-2GM/Rc^2}-\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}}\, .</math>
 
Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, ''p<sub>c</submath>p_c = p(r=0)''.</math> Warunek ''p<submath>cp_c = \infty</submath> ='' ∞ stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy:
::::: <math>\frac{2GM}{Rc^2}<\frac{8}{9}\, .</math>
 
Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli [[Granica Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa|granicę TOV]].
 
== Historia ==
Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku [[1939]] w czasopiśmie naukowym "[[Physical Review]]" przez [[Robert Oppenheimer|Roberta Oppenheimera]] i [[George Michael Volkoff|Georga M. Volkoffa]] w artykule pt. "''On Massive Neutron Cores"''<ref>J. R. Oppenheimer, G. M. Volkoff, ''On Massive Neutron Cores'', Phys„Phys. Rev. 55, 374 (1939).</ref>, jednak fundamentalne znaczenie mają prace [[Richard Chace Tolman|Richarda C. Tolmana]] z roku 1934 pt. ''Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models''<ref>R.C. Tolman, ''Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models'', „Proc Natl Acad Sci USA”, 20(3), 169 (1934).</ref> oraz 1939 r. pt. ''Static Solutions of Einstein’s Field Equations for Spheres of Fluid''<ref>R.C. Tolman, ''Static Solutions of Einstein’s Field Equations for Spheres of Fluid'', „Phys. Rev.” 55, 364 (1939).</ref>, w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk.
"Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models"<ref>R. C. Tolman, ''Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models'', Proc Natl Acad Sci U S A., 20(3), 169 (1934)</ref> oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid"<ref>R. C. Tolman, ''Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid'', Phys. Rev. 55, 364 (1939)</ref>, w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk.
 
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
 
{{Ogólna teoria względności}}