C*-algebra: Różnice pomiędzy wersjami

'''C*-algebra''' (czyt. ''ce-gwiazdka-algebra''; czasami ''algebra typu C*'') – zespolona [[algebra Banacha]] ''<math>A''</math> z dodatkowym działaniem [[*-pierścień|inwolucji]] <math>^*:\colon ''A'' →\to ''A''</math> (''<math>A''</math> jest więc [[*-pierścień|*-algebrą]]), spełniającym warunek

: (C*) <math>{}\;\;quad \|a^* a \| = \|a\|\ \|a^*\|\;\;\;quad(a\in A).</math>

* Niech ''<math>H''</math> będzie [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]]. Algebra ℬ<math>\mathcal{B}(''H'')</math> wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych na ''<math>H''</math> ma strukturę algebry Banacha (normą w tej algebrze jest [[norma operatorowa]]). Operacja [[Operator sprzężony (przestrzenie Banacha)|sprzężenia]] operatora ''<math>T'' →\to ''T''^*</math> jest inwolucją na tej algebrze spełniającą warunek (C*), tj. algebra ℬ<math>\mathcal{B}(''H'')</math> jest C*-algebrą. C*-algebra ta jest nieprzemienna, gdyż istnieją niekomutujące ze sobą operatory na przestrzeni Hilberta.

* [[Operator zwarty|Operatory zwarte]] na przestrzeni Hilberta ''<math>H''</math> tworzą [[zbiór domknięty|domknięty]] [[ideał (teoria pierścieni)|ideał]] w algebrze ℬ<math>\mathcal{B}(''H'')</math> (w szczególności, tworzą one domkniętą podalgebrę ℬ<math>\mathcal{B}(''H'')</math>). Algebra ''<math>K''(''H'')</math> operatorów zwartych jest zamknięta na inwolucję, a więc sama jest C*-algebrą. Identyczność na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta nie jest operatorem zwartym, a więc algebra ''<math>K''(''H'')</math> nie ma [[pierścień z jedynką|jedynki]].

* Niech ''<math>K''</math> będzie [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartą]] [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzenią Hausdorffa]]. W [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]] ''C''<submath>0C_0 (K)</submath>(''K'') złożonej z zespolonych [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] na ''<math>K''</math> i znikających w nieskończoności (normą w tej przestrzeni jest [[Przestrzeń unormowana|norma supremum]]) można wprowadzić działanie mnożenia określone punktowo oraz inwolucję, definiując ''<math>f''^*(''z'')</math> jako [[sprzężenie zespolone]] wartości ''<math>f''(''z'')</math> dla każdego punktu ''<math>z''</math> przestrzeni ''<math>K''.</math> Przestrzeń ''C''<submath>0C_0 (K)</submath>(''K'') z tak zadanymi działaniami mnożenia i inwolucji jest przemienną C*-algebrą. Algebra ta ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń ''<math>K''</math> jest [[przestrzeń zwarta|zwarta]] (wówczas jej elementami są wszystkie zespolone funkcje ciągłe na ''<math>K'';</math> w tym przypadku używa się zwykle symbolu ''<math>C''(''K'')</math> zamiast ''C''<submath>0C_0 (K)</submath>(''K'')). Przestrzeń ℓ<submath>∞\ell_\infty</submath> (z działaniami mnożenia i inwolucji zadanymi podobnie) jest również przemienną C*-algebrą. W szczególności, przestrzeń ℓ<submath>∞\ell_\infty</submath> jest izomorficzna z przestrzenią ''<math>C''(βω\beta\omega),</math> gdzie βω\beta\omega oznacza [[uzwarcenie Čecha-Stone’a]] zbioru [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] z [[Przestrzeń dyskretna|topologią dyskretną]]. Podobnie, [[przestrzeń c0|przestrzeń ''c''₀]] jest algebrą postaci ''C''<sub>0</submath>C_0 (''K''),</math> gdzie ''<math>K''</math> jest zbiorem liczb naturalnych z topologią dyskretną.

* W przypadku gdy ''<math>A''</math> jest C*-algebrą oraz ''M<submath>nM_n</submath>'' oznacza algebrę [[Macierz#Wprowadzenie i oznaczenia|macierzy kwadratowych]] stopnia ''<math>n'',</math> to algebrę macierzy ''M<submath>n</sub>''M_n (''A'')</math> o współczynnikach z algebry ''<math>A''</math> można w naturalny sposób wyposażyć w strukturę C*-algebry (por. [[podjednorodna C*-algebra]]).

Pojęcia [[operator normalny|operatora normalnego]], [[operator samosprzężony|samosprzężonego]], [[rzut (algebra liniowa)|rzutu]] rozszerza się na elementy C*-algebr. Dokładniej, o elemencie ''<math>a''</math> C*-algebry ''<math>A''</math> mówi się, że jest

* ''normalny'', gdy komutuje ze swoim sprzężeniem, tj. ''<math>aa^*'' = ''a^*a'';</math>

* ''samosprzężony'', gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj. ''<math>a'' = ''a^*'';</math>

* ''rzutem'', gdy jest samosprzężony i idempotentny, tj. ''<math>a'' = ''a^*''</math> oraz ''a<supmath>a^2</sup> = a''.</math>

Istnieje naturalna [[relacja równoważności]] w rodzinie rzutów danej C*-algebry ''<math>A''.</math> Dwa rzuty ''<math>p'', ''q'' ∈\in ''A''</math> są ''równoważne w sensie Murraya-von Neumanna'' (ozn. ''<math>p'' ~\sim ''q''</math>), gdy istnieje taka częściowa izometria ''<math>v'' ∈\in ''A'',</math> że ''<math>p'' = ''v''^*'' v''</math> i ''<math>q'' = ''vv''^*.</math> Rzuty dzieli się na ''skończone'' i ''nieskończone''. Rzut ''<math>p''</math> w C*-algebrze ''<math>A''</math> jest

* ''nieskończony'', gdy ''<math>p'' ~\sim ''q''</math> dla pewnego właściwego rzutu ''<math>q'' ∈\in ''A''</math> spełniającego ''<math>q'' ≤\leqslant ''p'',</math>

Spośród rzutów nieskończonych wyróżnia się rzuty ''nieskończone w sposób właściwy'', tj. takie rzuty ''<math>p'',</math> dla których istnieją takie dwa rzuty ''p''<sub>1</submath>p_1, ''p''₂p_2 ∈\in ''A'',</math> że ''p''₁''p''<sub>2</submath>p_1 p_2 = 0</math> (wzajemna ortogonalność), ''p''<sub>1</submath>p_1 + ''p_2 \leqslant p''<sub>2</submath> ≤ ''p'' oraz ''<math>p'' ~\sim ''p''₁p_1 ~\sim ''p''<sub>2p_2.</submath>.

Dla niezerowego rzutu ''<math>p'' ∈\in ''A''</math> następujące warunki są równoważne:

# ''<math>p''</math> jest nieskończony w sposób właściwy,

# ''<math>p'' ⊕\oplus ''p'' ≤\leqslant ''p'',</math>

# istnieją takie częściowe izometrie ''s''<sub>1</submath>s_1, ''s''₂s_2 ∈\in ''A'',</math> że ''s''<sub>1</submath>s_1^*''s''₁ s_1 + ''s''₂s_2^*''s''₂ s_2 = ''p''</math> oraz ''s''₁''s''<sub>1</submath>s_1 s_1^* + ''s''₂''s''₂s_2 s_2^* ≤\leqslant ''p'',</math>

# obraz ''<math>p''</math> w dowolnej algebrze ilorazowej ''<math>A''</math> poprzez kanoniczny homomorfizm ilorazowy jest albo rzutem zerowym albo rzutem nieskończonym.

Przykładem rzutu, który jest nieskończony, ale nie jest nieskończony w sposób właściwy jest jedynka [[algebra Toepliza|algebry Toepliza]], tj. C*-algebry generowanej przez operator przesunięcia na ''ℓ''<sub>2</submath>\ell_2 (''N'').</math>

Każdy element samosprzężony jest normalny. [[Twierdzenie spektralne]] rozszerza się na elementy C*-algebr i w swej najbardziej abstrakcyjnej formie mówi, że najmniejsza C*-algebra z jedynką generowana przez element normalny jest przemienna. Twierdzenie, to prowadzi do pojęcia ciągłego rachunku funkcyjnego dla elementu normalnego ''<math>a'',</math> tj. pozwala zdefiniować ściśle element ''<math>f''(''a''),</math> gdzie ''<math>f''</math> jest zespoloną [[funkcja ciągła|funkcją ciągłą]] określoną na [[widmo (matematyka)|widmie]] ''<math>a''.</math>

W przypadku gdy C*-algebra jest postaci ''C''<sub>0</submath>C_0 (''K''),</math> to jej rzutami są funkcje będące [[funkcja charakterystyczna zbioru|funkcjami charakterystycznymi]] [[Zbiór otwarto-domknięty|domknięto-otwartych podzbiorów]] ''<math>K''</math> (jeżeli przestrzeń ''<math>K''</math> jest [[przestrzeń spójna|spójna]] i zwarta istnieją tylko dwa rzuty: funkcja stale równa 0 i funkcja stale równa 1).

* W przypadku, gdy C*-algebra ''<math>A''</math> ma jedynkę, to widmo [[element odwracalny|elementu odwracalnego]] w ''<math>A''</math> jest zawarte w okręgu jednostkowym.

* Element ''<math>a''</math> C*-algebry jest samosprzężony wtedy i tylko, gdy jego widmo zawarte jest w zbiorze [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]].

* Jeżeli ''<math>A''</math> i ''<math>B''</math> są C*-algebrami, ''<math>A''⊆''\subseteq B''</math> oraz algebry te mają wspólną jedynkę, to widmo elementu ''<math>a''</math> algebry ''<math>A''</math> (względem algebry ''<math>A''</math>) jest takie samo jak jego widmo względem algebry ''<math>B''.</math> Innymi słowy, widmo ''<math>a''</math> nie zależy od C*-algebry, której jest on elementem.

Element ''<math>u''</math> C*-algebry ''<math>A''</math> (z jedynką 1) jest ''unitarny'', gdy ''<math>uu^*'' = 1</math> (równoważnie, ''<math>u''^*'' u'' = 1,</math> bądź ''<math>u''^* = ''u''<sup>−1^{-1}</supmath>). Elementy unitarne uogólniają w naturalny sposób pojęcie [[macierz unitarna|macierzy]] czy [[operator unitarny|operatora unitarnego]]. Russo i Dye udowodnili następujące twierdzenie<ref>B. Russo and H. A. Dye, [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.dmj/1077376395 ''A note on unitary operators in C*-algebras''], ''Duke„Duke Math. J.''” '''33''' (1966), 413–416.</ref>.

: ''Twierdzenie Russo-Dyego'': Niech ''<math>A''</math> będzie C*-algebrą z jedynką oraz ''<math>U''</math> niech będzie zbiorem elementów unitarnych w ''<math>A''.</math> Wówczas domknięta kula jednostkowa ''B''<submath>''A''B_A</submath> jest równa [[Domknięcie (topologia)|domknięciu]] [[otoczka wypukła|otoczki wypukłej]] zbioru ''<math>U'',</math> tj.

:: <math>B_A = \overline{\mboxoperatorname{conv}}\, U.</math>

Poniższy, elementarny dowód pochodzi od L.T. Gardnera<ref>L.T. Gardner, [http://www.ams.org/journals/proc/1984-090-01/S0002-9939-1984-0722439-8/S0002-9939-1984-0722439-8.pdf ''An Elementary proof of the Russo-Dye Theorem''], ''„[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc]]''”. '''90''' (1984), s. 171.</ref>.

: ''Dowód''. Niech ''<math>x'' ∈\in ''A''</math> oraz <math>\||''x''|\| < 1.</math> Wystarczy uzasadnić, że ''<math>x''</math> należy do domknięcia zbioru <math>\operatorname{conv} ''U''.</math> To sprowadza się jednak do pokazania, iż dla każdego ''<math>u'' ∈\in ''U''</math> element ''<math>y'' = (''x'' + ''u'')/2</math> należy do domknięcia <math>\operatorname{conv} ''U''.</math> Rzeczywiście,

:: ''<math>y'' = [(''x'' ·\cdot ''u''⁻¹^{-1} + 1)/2] ·\cdot ''u''.</math>

: Ponieważ <math>\||''x'' ·\cdot ''u''⁻¹|^{-1} \| = \||''x''|\| < 1,</math> więc element <math>(''x'' ·\cdot ''u''⁻¹^{-1} + 1)</math> jest [[element odwracalny|odwracalny]], skąd również ''<math>y''</math> jest elementem odwracalnym. Element ''<math>y''</math> jest więc postaci ''<math>y'' = ''v'' |''y''|,</math> gdzie ''<math>v''</math> jest pewnym elementem unitarnym oraz

:: <math>(''y''^*'' y'')^{^{1/2}} = |''y''| = (''w'' + ''w''^*) / 2,</math>

: gdzie ''<math>w'' = |''y''| + i(1 –- |''y''|^{^2})<sup>^{1/2}</supmath> jest również unitarne. Dowodzi, to że ''B''<sub>''A''</submath>B_A –- ''U'' ⊆\subseteq ''U'' + ''U''.</math> Z powyższego wynika więc, że ''<math>U''</math> zawiera się w zbiorze <math>2 ·\cdot cl(\operatorname{conv} ''U'') –- ''x'',</math> który jest domknięty i wypukły, a więc zawiera domknięcie <math>\operatorname{conv} ''U''.</math> Równoważnie, <math>(''x'' + cl(\operatorname{conv} ''U'')) / 2 ⊆\subseteq cl(\operatorname{conv} ''U'').</math> Ciąg (''x''_{''n''</submath>(x_n) ⊆\subseteq cl(\operatorname{conv} ''U'')</math> zdefiniwanyzdefiniowany rekurencyjnie: ''x''<submath>0x_0</submath> – dowolny element ''<math>U''</math> oraz ''x''<submath>''x_{n''+1}} = (''x'' + ''x''<sub>''n''x_n)/2</submath>) / 2 jest zbieżny do ''<math>x''.</math> □<math>\Box</math>

O operatorze ''<math>T''</math> na przestrzeni Hilberta mówi się, że jest ''dodatni'' (czasem ściślej: ''nieujemny''), gdy dla każdego elementu ''<math>x''</math> z przestrzeni Hilberta spełniony jest warunek

: <math>\langle Tx, x\rangle \geqslant 0.</math>.

Dodatniość operatora ''<math>T''</math> jest równoważna istnieniu takiego operatora ''<math>S'',</math> że ''<math>T'' = ''S S^*''.</math> Właśnie tę definicję przenosi się na ogólne C*-algebry i definiuje się pojęcie ''elementu dodatniego'' w C*-algebrze ''<math>A''</math> jako takiego, który można przedstawić w postaci ''<math>a'' = ''bb^*''</math> dla pewnego elementu ''<math>b''</math> C*-algebry ''<math>A''.</math> Dla elementu ''<math>a''</math> C*-algebry następujące trzy warunki są równoważne:

# ''<math>a''</math> jest elementem dodatnim;

# widmo elementu ''<math>a''</math> zawiera się w nieujemnej półosi zbioru liczb rzeczywistych;

# istnieje taki element samosprzężony ''<math>h''</math> w C*-algebrze ''<math>A'',</math> że ''<math>a'' = ''h''<sup>^2.</supmath>.

Zbiór elementów dodatnich w C*-algebrze tworzy [[stożek (analiza funkcjonalna)|stożek]], oznaczany czasem symbolem ''A''<submath>A_+.</submath>. Stożek ten jest domknięty i [[zbiór wypukły|wypukły]] oraz spełnia warunek ''A''<submath>A_+</sub> ∩\cap -''A''_{A_+} = \{0\}.</math> W stożku ''A''<submath>A_+</submath> definiuje się [[częściowy porządek|porządek częściowy]] warunkiem ''<math>a'' ≤\leqslant ''b''</math> wtedy i tylko wtedy, gdy element ''<math>b'' –- ''a''</math> jest dodatni.

[[Forma liniowa|Funkcjonał liniowy]] φ\varphi na C*-algebrze ''<math>A''</math> jest nazywany ''dodatnim'', gdy dla każdego elementu dodatniego ''<math>a''</math> z ''<math>A''</math> spełniony jest warunek ''φ''<math>\varphi(''a'') ≥\geqslant ''0''.</math> Funkcjonał dodatni jest automatycznie ciągły (ograniczony). Funkcjonał dodatni o normie równej 1 nazywany jest ''stanem''. Stan [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowy]] nazywany jest ''wiernym''.

Funkcjonał dodatni φ<math>\varphi</math> na C*-algebrze ''<math>A''</math> spełnia następujące warunki dla dowolnych elementowelementów ''<math>a, b''</math> z ''<math>A''{:}</math>

# <math>\varphi(a^*b)=\overline{\varphi(b^*a)};</math>;

# <math>|\varphi(b^*a)|^2\leqslant \varphi(a^* a)\cdot \varphi (b^* b).</math>.

Ważnym narzędziem w studiowaniu (abstrakcyjnych) C*-algebr są ich reprezentacje. ''Reprezentacją'' C*-algebry ''<math>A''</math> nazywa się parę <math>(''H'', ''π''\pi),</math> gdzie ''<math>H''</math> jest pewną [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]] oraz ''π'':<math>\pi\colon ''A'' →\to ℬ\mathcal{B}(''H'')</math> jest [[*-pierścień|*-homomorfizmem]] (tj. [[homomorfizm]]em algebr zachowującym inwolucję; ''π''<math>\pi(''a''^*) = (''π''\pi(''a''))^*</math> dla dowolnego ''<math>a'' ∈\in ''A''</math>) o wartościach w [[*-pierścień|*-algebrze]] ℬ<math>\mathcal{B}(''H'')</math> wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na ''<math>H''</math> (ℬ<math>\mathcal{B}(''H'')</math> z [[norma operatorowa|normą operatorową]] jest C*-algebrą). Szczególnie użyteczne okazują się reprezentacje o pewnych dodatkowych własnościach. I tak, o reprezentacji <math>(''H'', ''π''\pi)</math> C*-algebry ''<math>A''</math> mówi się, że jest

* ''niezdegenerowana'', gdy o ile tylko dla każdego ''<math>a'' ∈\in ''A'',</math> ''ξ''<math>\xi</math> jest takim elementem ''<math>H'',</math> że ''π''<math>\pi(''a'')''ξ''\xi = 0,</math> to ''ξ''<math>\xi</math> musi być wektorem zerowym;

* ''cykliczna'', jeżeli istnieje taki element ''ξ''<math>\xi ∈\in ''H'',</math> że zbiór <math>\{''π''\pi(''a'')''ξ''\xi: ''a'' ∈\in ''A''\}</math> jest [[zbiór gęsty|gęsty]] w ''<math>H''</math> (wektor ''ξ''<math>\xi</math> nazywany jest wówczas wektorem cyklicznym reprezentacji <math>(''H'', ''π''\pi);</math> każda reprezentacja cykliczna jest niezdegenrowana);

* ''wierna'', gdy ''π''<math>\pi</math> jest [[monomorfizm]]em, tj. jeżeli ''π''<math>\pi(''a'') = 0,</math> to ''<math>a'' = 0;</math>

* ''nieprzywiedlna'', gdy rodzina operatorów ''π''<math>\pi(''A'') = \{''π''\pi(''a''):\colon ''a'' ∈\in ''A''\}</math> nie ma wspólnej, [[zbiór domknięty|domkniętej]], nietrywialnej (tj. różnej od <math>\{0\}</math> i ''<math>H''</math>) [[podprzestrzeń niezmiennicza|podprzestrzeni niezmienniczej]].

: Dla reprezentacji ''π'':<math>\pi\colon ''A'' →\to ℬ\mathcal{B}(''H'')</math> następujące warunki są równoważne:

*:* ''π''<math>\pi</math> jest nieprzywiedlna,

*:* ''π''<math>\pi(''A)'')′ = <math>\{''cI'':\colon ''c''</math> jest liczbą zespoloną <math>{}\!\}</math>

*:* ''π''<math>\pi(''A)'')′′ = ℬ\mathcal{B}(''H''),</math>

*:* ''π''<math>\pi(''A'')</math> jest gęste w ℬ<math>\mathcal{B}(''H'')</math> w [[Silna topologia operatorowa|mocnej topologii operatorowej]].

* [[Twierdzenie Gelfanda-Najmarka]] mówi, że każda [[algebra przemienna|przemienna]] C*-algebra ''<math>A''</math> jest *-izomorficzna z C*-algebrą postaci ''C''<submath>0C_0(K)</submath>(''K'') dla pewnej [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie-zwartej]] [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzeni Hausdorffa]] ''<math>K''.</math> W istocie, przestrzeń ''<math>K''</math> jest [[transformata Gelfanda|przestrzenią Gelfanda]] C*-algebry ''<math>A''</math> (tj. [[transformata Gelfanda]] ''Γ'':<math>\Gamma\colon ''A'' →\to ''C''<sub>0C_0(K)</submath>(''K'') jest [[epimorfizm]]em).

* [[Twierdzenie Gelfanda-Najmarka-Segala]] mówi, że każda C*-algebra ''<math>A''</math> ma wierną reprezentację na pewnej przestrzeni Hilberta ''<math>H'';</math> innymi słowy, każda C*-algebra jest *-izomorficzna z pewną pod-C*-algebrą algebry ℬ<math>\mathcal{B}(''H'')</math> dla pewnej przestrzeni Hilberta ''<math>H''.</math>

Każda C*-algebra ma [[aproksymowalną jedność]] składającą się z elementów samosprzężonych, tj. w każdej C*-algebrze ''<math>A''</math> istnieje taki [[ciąg uogólniony]] (''e''<sub>α</submath>(e_\alpha)<sub>α_\alpha</submath> złożony z elementów samosprzężonych (''e''*<sub>α</submath>(e_\alpha^* =''e''<sub>α e_\alpha),</submath>), że dla dowolnego ''<math>a'' ∈\in ''A''</math> zachodzi

: <math>\lim ''x''\ ''e''_''α''e_\alpha = \lim ''e''_''α''e_\alpha\ ''x'' = ''x''.</math>

Rozważanie aproksymowalnych jedności jest zasadne w C*-algebrach, które nie mają [[pierścień z jedynką|jedności]] (gdy ''<math>A''</math> ma jedność ''<math>e'',</math> można przyjąć ''e''<sub>α</submath>e_\alpha = e</math>). W przypadku, gdy ''<math>J''</math> jest domkniętym [[ideał (teoria pierścieni)|ideałem (obustronnym)]] w C*-algebrze ''<math>A'',</math> dla każdego elementu ''<math>x'' ∈\in ''J''</math> istnieje taki ciąg (''f''<submath>''n''(f_n)</submath>) elementów ''<math>J''</math> o następujących własnościach:

# [[widmo (matematyka)|widmo]] każdego elementu ''f''<submath>''n''f_n</submath> zawarte jest w [[Przedział (matematyka)|przedziale]] <math>[0,1];</math>

# <math>\lim ''x''\ ''f''_''n''f_n = ''x''</math>

(gdy ''<math>A''</math> ma jedność, wystarczy zdefiniować ''f''<submath>''n''f_n,</submath>, używając [[rachunek funkcyjny|ciągłego rachunku funkcyjnego]], wzorem ''f''<sub>''n''</submath>f_n = ''n'' ''x''^{nx^2}(''e'' + ''nx''^{^2})<sup>−1^{-1}</supmath>).

Jeżeli ''<math>J''</math> jest domkniętym ideałem w C*-algebrze ''<math>A''</math> oraz (''f''<sub>''n''</submath>(f_n)<sub>''n''_n</submath> oraz ''<math>x'' ∈\in ''J'',</math> to ''<math>x'' = \lim ''x''\ ''f''<sub>nf_n.</submath>. Z drugiej strony, ''<math>x''^* = \lim ''f''_n''f_n\ x''^*, ''f''_n''f_n x''^* ∈\in ''J''</math> oraz ''<math>J''</math> jest domknięty, więc ''<math>x''^* ∈\in ''J''.</math>

Zamkniętość domkniętych ideałów na inwolucję pozwala wprowadzić w ilorazowej algebrze Banacha powstałej przez ilorazowanie C*-algebry ''<math>A''</math> przez domknięty ideał ''<math>J''</math> inwolucję wzorem: <math>[''x'']^* = [''x''^*] (''x'' ∈\in ''A'').</math> Tak zadana inwolucja w ''<math>A'' / ''J''</math> spełnia warunek (C*).

C*-algebry mogą być ubogie w ideały obustronne. Skrajnymi przykładami mogą być ''C*-algebry proste'' (C*-algebra ''<math>A''</math> jest ''prosta'', gdy nie ma ona innych ideałów obustronnych niż ideał trywialny <math>\{0\}</math> oraz ideał niewłaściwy ''<math>A''</math>). C*-algebry proste można konstruować jako C*-algebry ilorazowe ''<math>B'' / ''J'',</math> gdzie ''<math>B''</math> jest pewną C*-algebrą oraz ''<math>J''</math> jest jej [[ideał maksymalny|ideałem maksymalnym]]. Przykładem jest [[algebra Calkina]], tj. C*-algebra ℬ<math>\mathcal{B}(''H'') / '''''\mathbf{K'''''}(''H''),</math> gdzie ''<math>H''</math> jest [[przestrzeń ośrodkowa|ośrodkową]] przestrzenią Hilberta, a '''''<math>\mathbf{K'''''}(''H'')</math> oznacza ideał [[operator zwarty|operatorów zwartych]] na ''<math>H''.</math> Algebra Calkina jest nieośrodkowa. Istnieją ośrodkowe C*-algebry proste, np. [[algebra Cuntza|algebry Cuntza]] ''O''<submath>''n''O_n.</submath>.

Przeciwnie niż w przypadku ideałów obustronnych, C*-algebry mają zawsze nietrywialne [[ideał (teoria pierścieni)|ideały lewostronne]]. Jeżeli φ<math>\varphi</math> jest funkcjonałem dodatnim w C*-algebrze ''<math>A'',</math> to zbiór

: <math>N_\varphi = \{a\in A\colon \varphi(a^*a)=0\}\,</math>

jest ideałem lewostronnym w ''<math>A''.</math> W C*-algebrze z jedynką każdy domknięty ideał lewostronny jest tej postaci (ogólniej, w dowolnej C*-algebrze każdy domknięty ideał modularny jest tej postaci).

Niech ''<math>A''</math> i ''<math>B''</math> będą C*-algebrami. Algebraiczny [[iloczyn tensorowy]] ''<math>A'' ⊗\otimes ''B''</math> ma naturalną strukturę *-algebry. Każda norma <math>\|{\cdot}\|·||</math> w ''<math>A'' ⊗\otimes ''B''</math> spełniająca warunek (C*) jest [[norma krzyżowa|normą krzyżową]] przestrzeni Banacha, tj.

: <math>\|x\otimes y\| = \|x\|_A\cdot \|y\|_B\;\;(x\in A, y\in B).</math><ref>B.J. Vowden, [http://jlms.oxfordjournals.org/content/s2-7/4/595.full.pdf C*-Norms and tensor products of C*-algebras], ''J„J. London Math. Soc.''” ('''2'''), 7 (1974), s. 595–596.</ref>.

Projektywny iloczyn tensorowy ⊗<submath>''π''\otimes_\pi</submath> (przestrzeni Banacha) nie spełnia na ogół warunku (C*).

* [[William Arveson|W. Arveson]], ''An Invitation to C*-algebra''., Graduate„Graduate Texts in MathematicsMathematics” No. 39. Springer-Verlag, 1976.