Gra w chaos: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 2130 bajtów ,  2 lata temu
→‎Algorytm: Sformułowanie Twierdzenia, źródła/przypisy, wikizacja
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
m (WP:SK+Bn)
(→‎Algorytm: Sformułowanie Twierdzenia, źródła/przypisy, wikizacja)
 
== Algorytm ==
Zaczynając od pewnego [[punkt (geometria)|punktu]] <math>x_0</math> kolejne [[iteracja|iteracje]] są dane przy pomocy wzoru <math>x_{n+1} = f^mf_i(x_n),</math> gdzie <math>f^mf_i(x)</math> jest jedną z [[funkcja|funkcji]] iterowanych, wybieraną [[zależność zmiennych losowych|niezależnie]] i [[zmienna losowa|losowo]] dla każdej iteracji. Iteracje zbiegają się do punktu stałego systemu funkcji iterowanych. Jeżeli wartość początkowa <math>x_0</math> należy do atraktora systemu funkcji iterowanych, wówczas wszystkie punkty <math>x_n</math> również należą do tego atraktora i z [[prawdopodobieństwo|prawdopodobieństwem]] 1 tworzą w nim [[zbiór gęsty]]. Prawdziwy jest znacznie ogólniejszy rezultat.
 
''Twierdzenie'' o grze w chaos (zob. <ref>{{Cytuj |autor = Michael Barnsley, Andrew Vince |tytuł = Developments in fractal geometry |czasopismo = Bulletin of Mathematical Sciences |data = 2013-08 |data dostępu = 2020-03-25 |issn = 1664-3607 |wolumin = 3 |numer = 2 |s = 299–348 |doi = 10.1007/s13373-013-0041-3 |url = http://link.springer.com/10.1007/s13373-013-0041-3 |język = en}}</ref>): Niech <math>X</math> będzie [[Przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]] [[Przestrzeń zupełna|zupełną]], zaś <math>\mathcal{F} = \{f_i\}_{i=1}^{m}</math> iterowanym układem funkcyjnym ([[IFS_(geometria_fraktalna)|IFS]]) złożonym z [[Kontrakcja_(matematyka)|przekształceń zwężających]] <math>f_i: X\to X</math>. Niech <math>x_{n+1} = f_{i_n}(x_n)</math> będzie orbitą startującą w dowolnym punkcie <math>x_0\in X</math>. Wówczas [[IFS (geometria fraktalna)#Definicja formalna|atraktor]] <math>A</math> układu <math>\mathcal{F}</math> (który istnieje w myśl twierdzenia Hutchinsona) odtwarzany jest przez zbiór [[Punkt skupienia zbioru#Związane pojęcia|punktów skupienia]] <math>\omega((x_n)) = \bigcap_{k=1}^{\infty} \overline{\{x_n: n\geqslant k\}}</math> orbity <math>x_n</math>:
 
* (wersja probabilistyczna) <math>A=\omega((x_n))</math> z prawdopodobieństwem 1, jeśli tylko ciąg <math>i_n, n=1,2,...,</math> sterujący wyborem funkcji w n-tym kroku iteracji, jest losowany z użyciem [[Schemat Bernoulliego|schematu Bernoulliego]] na zbiorze <math>\{1,...,m\}</math>;
* (wersja [[Algorytm probabilistyczny#Derandomizacja|zderandomizowana]]) <math>A=\omega((x_n))</math>, jeśli tylko ciąg <math>i_n, n=1,2,...</math>, jest dyzjunktywny nad alfabetem <math>\{1,...,m\}</math>, tzn. dowolny łańcuch skończony nad <math>\{1,...,m\}</math> pojawia się w <math>i_n</math>.
 
W przypadku układów kontrakcji wariant probabilistyczny twierdzenia o grze w chaos (używający schematu Bernoulliego) wynika z wariantu dyzjunktywnego. Dzieje się tak, gdyż schemat Bernoulliego generuje ciągi dyzjunktywne prawie na pewno.
== Przykład dla trójkąta Sierpińskiego ==
[[Plik:Sierpinski1.png|thumb|Trójkąt Sierpińskiego]]
* [[dywan Sierpińskiego]]
* [[kostka Mengera]]
 
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
 
[[Kategoria:Geometria fraktalna]]
58

edycji