IFS (geometria fraktalna): Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
wikizacja; poprawiono założenie o ograniczoności zbioru startowego; dopisano info o zastos. do interpolacji fraktalnej; dopisano info o generowaniu atraktora IFS za pomocą gry chaosu - wszystko znajduje się w książce Barnsleya. |
|||
Linia 1:
{{Inne znaczenia|fraktali|[[IFS|inne znaczenia IFS]]}}
[[Plik:Fraktal ormbunke.jpg|thumb|[[Paproć Barnsleya]] wygenerowana za pomocą systemu IFS]]
'''IFS''' (z {{ang.|iterated function system}}, zwany też '''systemem funkcji iterowanych''', '''systemem iterowanych [[kontrakcja (matematyka)|kontrakcji]]''' albo [[kontrakcja (matematyka)|przekształceń zwężających]]) – rodzina [[funkcja|funkcji]], za pomocą których konstruuje się [[fraktal]]e samopodobne. W matematyce terminu tego używa się także na określenie samej metody konstrukcji (przedstawionej poniżej). Opis w obecnej postaci został podany przez Hutchinsona (1981). IFS znajduje zastosowanie w zagadnieniach [[Kompresja fraktalna|kompresji danych]], zwłaszcza graficznych ([[grafika fraktalna]]) oraz interpolacji krzywych i powierzchni (FIF {{ang.|fractal interpolation function}}).
== Definicja formalna ==
Załóżmy dla pewnego ustalonego <math>m\in \mathbb{N},</math> <math>m\geqslant 2,</math> że mamy rodzinę funkcji <math>F_i,\; i=1,2,\dots,m,</math> określoną na pewnym podzbiorze <math>X\subset \mathbb{R}^d.</math>
Załóżmy ponadto że każda funkcja jest [[kontrakcja (matematyka)|kontrakcją]] o skali <math>r_i<1,</math> tzn.
: <math>|F_i(x) - F_i(y)| \leqslant r_i|x-y|.</math>
Linia 19:
: <math>F(A) = \bigcup_{i=1}^m F_i(A),</math>
to wówczas kolejne obrazy <math>F(A), F(F(A)), F(F(F(A))
: <math>F^k(A) \to K</math>
Linia 27:
gdzie <math>A_\delta, B_\delta</math> oznaczają <math>\delta</math>-otoczki zbiorów (otoczki „grubości” <math>\delta</math>).
Własność ta jest podstawą wizualizacji fraktali otrzymywanych przez IFS. W zastosowaniach ważną rolę odgrywa algorytm iteracji losowej zwany [[Gra w chaos|grą chaosu]]. Zamiast iterować obraz całego zbioru poprzez operator Hutchinsona <math>F</math> iteruje się obraz punku poprzez losowo wybierane odwzorowania <math>F_i.</math>
== Warunek zbioru otwartego i wymiar Hausdorffa ==
Mówimy, że IFS spełnia ''warunek zbioru otwartego'', jeżeli istnieje (niepusty) otwarty zbiór <math>U</math> taki, że
: <math>\bigcup_{i=1}^m F_i(U) \subset U.</math>
| |||