Funkcja jednostajnie ciągła: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Definicja: Na samym początku artykułu w skrócie napisana jest, że funkcja j.c. jest pomiędzy dwoma przestrzeniami metrycznymi, uważam zatem, że w związku z tym należałoby najpierw przedstawić definicję pomiędzy przestrzeniami metrycznymi, a potem szczególny przypadek, przy czym zamieniłem C na R, gdyż nie widzę powodu sensu dawania szczególnego przypadku dla funkcji z R w C, jeżeli sprawdza to jakiś student robiący AM.II, to pracuje raczej na funkcjach z R w R. |
→Definicja: drobne redakcyjne |
||
Linia 3:
== Definicja ==
Niech <math>(X,\varrho)</math> i <math>(Y,\sigma)</math> będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech <math>f\colon X\to Y.</math>
Funkcję <math>f</math> nazywamy ''jednostajnie ciągłą'', gdy dla każdego <math>\varepsilon>0</math> istnieje takie <math>\delta>0,</math> że dla wszelkich <math> : <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x_1,x_2 \in X}\; \varrho(x_1,x_2)<\delta \Rightarrow \sigma (f(x_1),f(x_2))<\varepsilon,</math>
Jeżeli przestrzenią metryczną jest zbiór liczb rzeczywistych <math>\mathbb R</math> ze standardową metryką euklidesową <math>\varrho(a,b):=|a-b|,</math> dla <math>a,b\in \mathbb R,</math> to ''jednostajną ciągłość'' funkcji <math>f\colon I\to\mathbb{R},</math> gdzie <math>I\subset \mathbb R</math> jest przedziałem liczb rzeczywistych, można formalnie zapisać
: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x_1,x_2 \in I}\; |x_1-x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon,</math>
== Własności funkcji jednostajnie ciągłych ==
| |||