Funkcja analityczna: Różnice pomiędzy wersjami

'''Funkcja analityczna''' na zbiorze ''<math>D''</math> -– [[funkcja]] dająca się rozwinąć w [[Wzór Taylora|szereg Taylora]] w otoczeniu każdego punktu należącego do ''<math>D''.</math>

Funkcja ''<math>f''</math> jest analityczna na [[zbiór otwarty|zbiorze otwartym]] ''<math>D''</math> w sensie rzeczywistym (zespolonym), jeśli dla każdego punktu ''x''<submath>0x_0</submath> należącego do ''<math>D''</math> zachodzi wzór

: <math>f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n,</math>

gdzie ''<math>a''</math> jest [[ciąg (matematyka)|ciągiem]] liczb [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] (odpowiednio [[liczby zespolone|zespolonych]]), a powyższy [[szereg]] jest zbieżny do ''<math>f''(''x'')</math> dla każdego ''<math>x''</math> z otoczenia ''x''<submath>0x_0.</submath>.

* [[Liczba odwrotna|Odwrotność]] funkcji analitycznej, która nie osiąga zera jest funkcją analityczną.

* [[Funkcja odwrotna]] do funkcji analitycznej, która jest odwracalna i jej [[Pochodna funkcji|pochodna]] nie osiąga zera jest funkcją analityczną.

Pojęcie funkcji analitycznej różni się zasadniczo dla funkcji [[liczby zespolone|zespolonej]]. Wiele [[twierdzenie|twierdzeń]] odnoszących się dla funkcji analitycznych w sensie zespolonym jest nieprawdziwych dla funkcji analitycznych w sensie rzeczywistym. Na przykład biorąc pod uwagę funkcję ''<math>f''</math> zdefiniowaną jako

: <math>f(x) = \frac{1}{x^2+1}.</math>

Według [[twierdzenie Liouville’a (analiza zespolona)|twierdzenia Liouville’a]] każda funkcja analityczna i ograniczona jest równa stałej, co w przypadku ''<math>f''</math> jest fałszem.

Dlatego najczęściej funkcję analityczną w sensie zespolonym nazywa się [[funkcja holomorficzna|holomorficzną]], jako że każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy [[różniczkowalnośćFunkcja różniczkowalna|różniczkowalna]]. Ponadto jeśli funkcja jest analityczna w sensie zespolonym na całej płaszczyźnie zespolonej, mówi się wtedy o [[funkcja całkowita|funkcji całkowitej]].

Funkcja analityczna (w sensie zespolonym) na <math>\mathbb C</math> jest rozwijalna w szereg Taylora który jest zbieżny na <math>\mathbb C.</math>. Nie jest to jednak prawdą dla funkcji zmiennej rzeczywistej. Dla przykładu funkcja ''<math>f''</math> jest analityczna na <math>\mathbb R,</math> lecz nie da się jej rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całym zbiorze <math>\mathbb R.</math>.