Funkcja ograniczona: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 33 bajty ,  1 rok temu
m
m
Znaczniki: VisualEditor Z internetu mobilnego Z wersji mobilnej
m (WP:SK+Bn)
 
{{Funkcje matematyczne}}
{{Dopracować|źródła=2011-12 }}
[[ImagePlik:Bounded and unbounded functions.svg|right|thumb|Ilustracja funkcji ograniczonej (czerwona) i nieograniczonej (niebieska). Dla funkcji ograniczonej da się znaleźć linię poziomą, której wykres nie przekracza, a dla funkcji nieograniczonej taka linia nie istnieje.]]
'''Funkcja ograniczona''' – [[funkcja]], której wszystkie wartości należą do pewnego [[przedział (matematyka)|przedziału]] ograniczonego.
 
'''Funkcja''' '''nieograniczona -''' funkcja, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której [[zbiórObraz wartościi funkcjiprzeciwobraz|zbiór wartości]] nie zawiera się w żadnym przedziale.
 
== Ograniczoność z góry i z dołu ==
Funkcja jest '''ograniczona z góry''', jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby.
 
Funkcja jest '''ograniczona z dołu''', jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby.
 
'''Funkcja jest ograniczona''' wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.
 
== Przykłady ==
* Funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału <math>[-1, 1].</math>.
* Funkcje <math>f(x) = x,\; g(x) = x^2</math> są nieograniczone. [[Funkcja kwadratowa]] <math>g(x) = x^2</math> jest jednak ograniczona z dołu. Ogólnie, wszystkie [[wielomian]]y stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone.
* [[Ciąg (matematyka)|Ciąg]] <math>1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \dots</math> jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału <math>(0, 1].</math>.
* Ciąg <math>1, 2, 3, 4, \dots</math> choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony.
* Ciąg <math>-1, -3, -5, -7, \dots</math> nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne.
* Odległość punktów (w ogólności [[przestrzeń metryczna|metryka]]), długość [[wektor]]a (w ogólności [[przestrzeń unormowana|norma]]) – to funkcje ograniczone z dołu przez zero, ale nie z góry.
* [[długość łuku|Długość krzywej]] (np. [[obwód (geometria)|obwód figury]]), [[pole powierzchni]] i [[objętość]] – przykłady [[miara (matematyka)|miar,]], które z definicji są ograniczone z dołu przez zero.
* [[Prawdopodobieństwo]] – miara ograniczona z dołu przez 0, z góry przez 1.
 
== Zobacz też ==
* [[Operator liniowy ograniczony|operator ograniczony]]
 
[[Kategoria:Funkcje matematyczne|Ograniczona]]