Twierdzenia o izomorfizmie: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Pierścienie i moduły: drobne redakcyjne |
|||
Linia 10:
=== Pierwsze twierdzenie ===
Jeżeli <math>G,\ H</math> są grupami, a
: <math>f\colon G \to H</math>
jest [[Homomorfizm grup|homomorfizmem]], to
* [[jądro (algebra)|jądro]] <math>K</math> homomorfizmu <math>f</math> jest [[podgrupa normalna|podgrupą normalną]] <math>G,</math>
* [[Obraz i przeciwobraz|obraz]] <math>f</math> jest [[podgrupa|podgrupą]] <math>H,</math> a
Linia 23 ⟶ 22:
=== Drugie twierdzenie (znane też jako trzecie) ===
Niech
: <math>H, K</math> będą podgrupami <math>G,</math>
: <math>H</math> będzie [[podgrupa normalna|podgrupą normalną]] <math>G.</math>
Wówczas
: [[Iloczyn kompleksowy|Iloczyn]] <math>HK</math> grup <math>H</math> oraz <math>K</math> jest podgrupą w <math>G,</math>
Linia 32:
=== Trzecie twierdzenie (znane też jako drugie) ===
Jeżeli
: <math>M, N</math> są podgrupami normalnymi w <math>G</math> takimi, że <math>M</math> [[podzbiór|zawiera się]] w <math>N,</math>
to
: <math>M</math> jest podgrupą normalną w <math>N,</math>
: <math>N/M</math> jest podgrupą normalną w <math>G/M,</math>
: <math>(G/M)/(N/M)</math> jest [[izomorfizm|izomorficzna]] z <math>G/N.</math>
Linia 44:
Twierdzenia o izomorfizmie są prawdziwe także dla pierścieni, homomorfizmów pierścieni i [[ideał (teoria pierścieni)|ideałów]]. W tym przypadku należy zamienić pojęcia „grupa” na „pierścień”, „podgrupa” na „podpierścień” i „podgrupa normalna” na „ideał”, a „grupa ilorazowa” na „[[pierścień ilorazowy]]”.
Twierdzenia o izomorfizmie obowiązują również dla [[moduł (matematyka)|modułów]] nad ustalonym [[pierścień (matematyka)|pierścieniem]] <math>R.</math>
Tym samym twierdzenia zachodzą i dla [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych]] nad ustalonym [[ciało (matematyka)|ciałem]]: wystarczy użyć odpowiednio kolejnych pojęć „przestrzeń liniowa”, „[[podprzestrzeń liniowa]]” oraz „[[przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)|przestrzeń ilorazowa]]” w miejsce wymienionych wyżej struktur modularnych. Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie jest lepiej znane w tym kontekście jako [[twierdzenie o rzędzie|twierdzenia o rzędzie]].
We wspomnianych przypadkach używana jest notacja addytywna [[
<!-- należy również wspomnieć o twierdzeniach o izomorfizmie dla przestrzeni liniowo-topologicznych, algebr Banacha itd. -->
Linia 68:
== Zobacz też ==
* [[lemat Zassenhausa]]
== Bibliografia ==▼
* [[Emmy Noether]], ''Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern'', [[Mathematische Annalen]] '''96''' (1927),
* Colin McLarty (pod redakcją
== Linki zewnętrzne ==
Linia 74 ⟶ 78:
* {{odsyłacz planetmath|id=1334|tytuł=Drugie twierdzenie o izomorfizmie}}. {{odsyłacz planetmath|id=3153|tytuł=Dowód}}.
* {{odsyłacz planetmath|id=1126|tytuł=Trzecie twierdzenie o izomorfizmie}}. {{odsyłacz planetmath|id=7496|tytuł=Dowód}}.
▲== Bibliografia ==
▲* [[Emmy Noether]], ''Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern'', [[Mathematische Annalen]] '''96''' (1927) p. 26-61
▲* Colin McLarty (pod redakcją Jeremy'ego Graya i José Ferreirósa), ''The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy'' - ''Emmy Noether’s ‘Set Theoretic’ Topology: From Dedekind to the rise of functors'', Oxford University Press (2006) p. 211–35.
[[Kategoria:Twierdzenia algebry|O izomorfizmie]]
| |||