Twierdzenie o izomorfizmie: Różnice pomiędzy wersjami

m
(→‎Pierścienie i moduły: drobne redakcyjne)
m (WP:SK+Bn)
 
=== Pierwsze twierdzenie ===
<!--sekcja wskazywana przez [[pierwsze twierdzenie o izomorfizmie]]-->
Jeżeli <math>G,\ H</math> są grupami, a
: <math>f\colon G \to H</math>
 
jest [[Homomorfizm grup|homomorfizmem]], to
to
* [[jądro (algebra)|jądro]] <math>K</math> homomorfizmu <math>f</math> jest [[podgrupa normalna|podgrupą normalną]] <math>G,</math>
* [[Obraz i przeciwobraz|obraz]] <math>f</math> jest [[podgrupa|podgrupą]] <math>H,</math> a
=== Drugie twierdzenie (znane też jako trzecie) ===
Niech
: <math>H, K</math> będą podgrupami <math>G,</math> i
: <math>H</math> będzie [[podgrupa normalna|podgrupą normalną]] <math>G.</math>
 
Wówczas
: [[Iloczyn kompleksowy|Iloczyn]] <math>HK</math> grup <math>H</math> oraz <math>K</math> jest podgrupą w <math>G,</math>
=== Trzecie twierdzenie (znane też jako drugie) ===
Jeżeli
: <math>M, N</math> są podgrupami normalnymi w <math>G</math> takimi, że <math>M</math> [[podzbiór|zawiera się]] w <math>N,</math>
 
: takimi, że <math>M</math> [[podzbiór|zawiera się]] w <math>N,</math>
to
: <math>M</math> jest podgrupą normalną w <math>N,</math>
: <math>N/M</math> jest podgrupą normalną w <math>G/M,</math> a
: <math>(G/M)/(N/M)</math> jest [[izomorfizm|izomorficzna]] z <math>G/N.</math>
 
Twierdzenia o izomorfizmie są prawdziwe także dla pierścieni, homomorfizmów pierścieni i [[ideał (teoria pierścieni)|ideałów]]. W tym przypadku należy zamienić pojęcia „grupa” na „pierścień”, „podgrupa” na „podpierścień” i „podgrupa normalna” na „ideał”, a „grupa ilorazowa” na „[[pierścień ilorazowy]]”.
 
Twierdzenia o izomorfizmie obowiązują również dla [[moduł (matematyka)|modułów]] nad ustalonym [[pierścień (matematyka)|pierścieniem]] <math>R.</math>. W sformułowania należy jedynie zamienić pojęcia „grupa” na „<math>R</math>-moduł”, „podgrupa” i „podgrupa normalna” na „[[Moduł (matematyka)#Podmoduły i homomorfizmy|podmoduł]]”, a „grupa ilorazowa” na „[[moduł ilorazowy]]”.
 
Tym samym twierdzenia zachodzą i dla [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych]] nad ustalonym [[ciało (matematyka)|ciałem]]: wystarczy użyć odpowiednio kolejnych pojęć „przestrzeń liniowa”, „[[podprzestrzeń liniowa]]” oraz „[[przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)|przestrzeń ilorazowa]]” w miejsce wymienionych wyżej struktur modularnych. Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie jest lepiej znane w tym kontekście jako [[twierdzenie o rzędzie|twierdzenia o rzędzie]].
 
We wspomnianych przypadkach używana jest notacja addytywna [[krataKrata (porządekmatematyka)|supremum]] to „<math>H + K</math>”, nie zaś „<math>HK</math>”.
<!-- należy również wspomnieć o twierdzeniach o izomorfizmie dla przestrzeni liniowo-topologicznych, algebr Banacha itd. -->
 
 
== Zobacz też ==
* [[lemat Zassenhausa]], (czasami nazywanenazywany ''czwartym twierdzeniem o izomorfizmie'')
 
== Bibliografia ==
* [[Emmy Noether]], ''Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern'', [[Mathematische Annalen]] '''96''' (1927), ps. 26-61.
* Colin McLarty (pod redakcją Jeremy'egoJeremy’ego Graya i José Ferreirósa), ''The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy'' - ''Emmy Noether’s ‘Set Theoretic’ Topology: From Dedekind to the rise of functors'', Oxford University Press (2006), ps. 211–35.
 
== Linki zewnętrzne ==
* {{odsyłacz planetmath|id=1334|tytuł=Drugie twierdzenie o izomorfizmie}}. {{odsyłacz planetmath|id=3153|tytuł=Dowód}}.
* {{odsyłacz planetmath|id=1126|tytuł=Trzecie twierdzenie o izomorfizmie}}. {{odsyłacz planetmath|id=7496|tytuł=Dowód}}.
 
== Bibliografia ==
* [[Emmy Noether]], ''Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern'', [[Mathematische Annalen]] '''96''' (1927) p. 26-61
* Colin McLarty (pod redakcją Jeremy'ego Graya i José Ferreirósa), ''The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy'' - ''Emmy Noether’s ‘Set Theoretic’ Topology: From Dedekind to the rise of functors'', Oxford University Press (2006) p. 211–35.
 
[[Kategoria:Twierdzenia algebry|O izomorfizmie]]