Funkcja jednostajnie ciągła: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Definicja: Dopisano warunek Heinego. |
|||
Linia 2:
== Definicja ==
Niech <math>(X,\varrho)</math> i <math>(Y,\sigma)</math> będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech <math>f\colon X\to Y.</math>
▲Niech <math>(X,\varrho)</math> i <math>(Y,\sigma)</math> będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech <math>f\colon X\to Y.</math>
Funkcję <math>f</math> nazywamy ''jednostajnie ciągłą'', gdy dla każdego <math>\varepsilon>0</math> istnieje takie <math>\delta>0,</math> że dla wszelkich <math>x_1,x_2\in X</math> zachodzi nierówność <math>\sigma (f(x_1),f(x_2))<\varepsilon,</math> o ile tylko <math>\varrho(x_1,x_2)<\delta.</math> Formalnie:
: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x_1,x_2 \in X}\; \varrho(x_1,x_2)<\delta \Rightarrow \sigma (f(x_1),f(x_2))<\varepsilon.</math>
Powyższa charakteryzacja typu
Jeżeli przestrzenią metryczną jest zbiór liczb rzeczywistych <math>\mathbb R</math> ze standardową metryką euklidesową <math>\varrho(a,b):=|a-b|,</math> dla <math>a,b\in \mathbb R,</math> to ''jednostajną ciągłość'' funkcji <math>f\colon I\to\mathbb{R},</math> gdzie <math>I\subset \mathbb R</math> jest przedziałem liczb rzeczywistych, można formalnie zapisać
Linia 15 ⟶ 14:
== Własności funkcji jednostajnie ciągłych ==
* Każda funkcja jednostajnie ciągła jest [[funkcja ciągła|ciągła]].
: ''Dowód''. Jeśli <math>f\colon X \to Y</math> jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami metrycznymi <math>(X, \varrho)</math> i <math>(Y, \sigma),</math> to ciągłość <math>f</math> oznacza, że dla każdego punktu <math>x \in X</math> i każdego <math>\varepsilon > 0</math> takie istnieje <math>\delta_{x,\varepsilon}>0</math> (indeks dolny przy <math>\delta</math> oznacza, że liczba ta zależy od <math>x</math> i <math>\varepsilon</math>) taka, że obraz <math>f(K(x,\delta_{x,\varepsilon}))</math> kuli <math>K(x,\delta_{x,\varepsilon})</math> o środku <math>x</math> i promieniu <math>\delta_{x,\varepsilon}</math> zawiera się w kuli o środku <math>f(x)</math> i promieniu <math>\varepsilon.</math> Jednostajna ciągłość <math>f</math> oznacza, że dla każdego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>\delta_\varepsilon > 0,</math> że obraz <math>f(K)</math> dowolnej kuli <math>K</math> o promieniu <math>\delta_\varepsilon</math> zawiera się w kuli o promieniu <math>\varepsilon.</math> Jednostajna ciągłość to zatem warunek silniejszy niż ciągłość.
* Jeśli <math>(x_n)</math> jest [[Ciąg Cauchy’ego|ciągiem Cauchy’ego]] elementów przestrzeni <math>X</math> oraz <math>f\colon X \to Y</math> jest jednostajnie ciągła, to ciąg <math>(f(x_n))</math> jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni <math>Y.</math>
Linia 21 ⟶ 20:
: ''Dowód.'' Niech <math>\varepsilon > 0.</math> Na mocy jednostajnej ciągłości <math>f\colon X \to Y</math> istnieje taka liczba <math>\delta > 0,</math> że dla dowolnych <math>x, y \in X</math> spełniających warunek <math>\varrho(x, y) < \delta</math> zachodzi oszacowanie <math>\sigma(f(x), f(y)) < \varepsilon.</math> Skoro <math>(x_n)</math> jest ciągiem Cauchy’ego, to istnieje taka liczba naturalna <math>N,</math> że dla <math>n, k \geqslant N</math> zachodzi <math>\varrho(x_n, x_k) < \delta,</math> a zatem <math>\sigma(f(x_n), f(x_k)) < \varepsilon</math> dla <math>n, k \geqslant N.</math> Dowodzi to, że ciąg <math>(f(x_n))</math> jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni <math>Y.</math> <math>_\square</math>
: Twierdzenie to jest kryterium pozwalającym sprawdzić, czy dana funkcja ''nie'' jest jednostajnie ciągła. Np. niech <math>f\colon (0, 2) \to \mathbb{R}</math> będzie funkcją daną wzorem <math>f(x) = 1 / x.</math> Wówczas ciąg <math>(1/n)</math> jest ciągiem Cauchy’ego, jednak <math>f(1/n) = n,</math> czyli ciąg <math>(f(1/n))</math> nie jest ciągiem Cauchy’ego w <math>\mathbb{R}.</math> Wobec powyższego
* Niech <math>(X, \varrho)</math> będzie [[zbiór całkowicie ograniczony|całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną]] (np. <math>X</math> jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła <math>f\colon X \to \mathbb{C}</math> jest ograniczona.
: ''Dowód''. Dla <math>\varepsilon = 1</math> niech <math>\delta > 0</math> będzie takie, iż dla dowolnych <math>x, y \in X</math> spełniających warunek <math>\varrho(x, y) < \delta</math> zachodzi oszacowanie <math>|f(y) - f(x) | < 1.</math> Niech <math>K_1, K_2, \dots, K_n</math> będzie ciągiem kul otwartych o promieniu <math>\delta,</math> których suma jest równa <math>X.</math> Niech <math>x_i</math> będzie środkiem <math>K_i (i \leqslant n).</math> Niech <math>M = \max\{|f(x_i)|\colon i \leqslant n\}.</math>
: Ustalmy <math>y \in X.</math> Wówczas <math>y \in K_{i_y}</math> dla pewnego <math>i_y \leqslant n.</math> Ostatecznie
:: <math>|f(y)| = |f(y) - f(x_{i_y}) + f(x_{i_y})| \leqslant 1 + M,</math>
:: co dowodzi ograniczoności <math>f.</math> <math>_\square</math>
* Każda funkcja spełniająca [[warunek Lipschitza]] jest jednostajnie ciągła.
: ''Dowód''. Niech <math>f\colon X \to Y</math> będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą <math>L.</math> Niech <math>x_1, x_2 \in X</math> oraz niech dany będzie <math>\varepsilon > 0.</math> Gdy <math>\delta = \varepsilon / L,</math> to <math>\sigma(f(x_1), f(x_2)) \leqslant L \cdot \varrho(x_1, x_2) \leqslant L \cdot \varepsilon/L = \varepsilon,</math> o ile tylko <math>\varrho(x_1, x_2) \leqslant \delta.</math> <math>_\square</math>
* Funkcja jednostajnie ciągła, która nie spełnia warunku Lipschitza to np. pierwiastek <math>f(x) = \sqrt{x}</math> na przedziale <math>[0,1].</math>
* Każda [[funkcja ciągła]] na [[przestrzeń zwarta|przestrzeni zwartej]] jest jednostajnie ciągła ([[twierdzenie Heinego-Cantora]]).
Linia 49 ⟶ 48:
* J.B. Conway, ''Functions of One Complex Variable I'' (Graduate Texts in Mathematics '''11'''). Springer-Verlag. {{ISBN|0-387-90328-3}}, s. 25–28.
* S.C. Malik, ''Principles of Real Analysis'', New Age International, 1982, s. 127–129.
* K. Kuratowski, ''Rachunek różniczkowy i całkowy,'' Wydawnictwo Naukowe PWN, 2020.
* W. Kryszewski, ''Wykład analizy matematycznej, cz. 1: Funkcje jednej zmiennej'', Wydawnictwo Naukowe UMK, 2009. ISBN 978-83-231-2352-1.
[[Kategoria:Funkcje ciągłe| ]]
| |||