Funkcja Mertensa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne |
m drobne techniczne |
||
Linia 4:
: <math>M(n) = \sum_{1\leqslant k \leqslant n} \mu(k),</math>
gdzie <math>\mu(k)</math> jest [[funkcja Möbiusa|funkcją Möbiusa]]<ref>{{MathWorld |tytuł=Mertens Function |adres=MertensFunction |autor=Eric W. Weisstein}}</ref><ref name=":0">{{Cytuj |autor=Tadej Kotnik, Jan van de Lune |tytuł=On the Order of the Mertens Function |czasopismo=Experimental Mathematics |data=2004 |data dostępu=2017-11-10 |issn=1058-6458 |wolumin=13 |numer=4 |s=473–481 |url=https://projecteuclid.org/euclid.em/1109106439}}</ref><ref name=":1" />.
Dla każdej liczby naturalnej <math>k</math> zachodzi <math>\mu(k)\leqslant 1,</math> zatem <math>M(n) \leqslant n</math><ref name=":0" />.
Linia 12:
: <math>\left| M(n) \right| < \sqrt {n}</math><ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":2" />.
Fakt ten implikowałaby [[hipoteza Riemanna|hipotezę Riemanna]]<ref name=":2">{{MathWorld |autor=Eric W. Weisstein |tytuł=Mertens Conjecture |adres=MertensConjecture}}</ref>. Jest to powiązane z faktem, iż jeśli podzielimy funkcję Mertensa z danej liczby przez pierwiastek kwadratowy, uzyskamy ciąg zbliżony do sekwencji nietrywialnych zer [[Funkcja dzeta Riemanna|funkcji dzeta Riemanna]]<ref name=":0" /><ref name=":1" />. Okazuje się jednak, że przypuszczenie jest fałszywe; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między 10<sup>14</sup> a 3,21×10<sup>64</sup><ref name=":1" />. Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego <math>\epsilon >0</math> wzoru
: <math>M(n) = O\left(n^{\frac{1}{2}+\epsilon}\right)</math><ref name=":0" />.
Linia 28:
* M(n) to [[wyznacznik]] <math>n</math>-tej macierzy Redheffera, w której <math>a_{ij}=1,</math> gdy <math>j=1</math> lub <math>i</math> dzieli <math>j,</math> a pozostałe wyrazy są zerowe.
== Obliczanie wartości funkcji<ref name=":1">{{Cytuj |autor=Greg Hurst |tytuł=Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture |czasopismo=arXiv
{| class="wikitable"
!Osoba
| |||