Kwaterniony: Różnice pomiędzy wersjami

 

== Konstrukcje ==

|+ tabelka mnożenia

|-

|-

! e

|-

! ''i''

|-

! ''j''

|-

! ''k''

|}

Jest kilka sposobów konstruowania kwaternionów.

 

=== Kwaternion jako suma algebraiczna ===

Kwaterniony w tej konstrukcji mają postać:

 

Dodawanie i mnożenie kwaternionów, w postaci algebraicznej, wykonujemy jak na wielomianach czterech zmiennych <math>\mathbf{ e, i, j, k},</math> przy czym mnożenie jednostek <math>\mathbf {e, i, j, k}</math> z uwzględnieniem ich kolejności określa tabelka po prawej.

 

 

Wtedy:

 

=== Przykład ===

Niech

: <math>x=2+3i+4k</math>

 

== Zastosowania ==

Kwaterniony są używane w [[grafika komputerowa|grafice komputerowej]] do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie [[DirectX]]<ref name="DirectX">Dokumentacja: http://msdn2.microsoft.com/en-us/library/microsoft.windowsmobile.directx.quaternion.aspx.</ref>. Klasy pozwalające wykonywać operacje na kwaternionach dostępne są również w OpenGL oraz wielu istniejących silnikach 3D. Części urojone kwaternionu służą do zdefiniowania płaszczyzny obrotu (opisują wektor prostopadły do płaszczyzny obrotu), część rzeczywista do określenia kąta obrotu. Zalety użycia kwaternionów to brak możliwości wystąpienia efektu Gimbal Lock (utraty stopnia swobody) oraz proste obliczeniowo metody służące [[Interpolacja (matematyka)|interpolacji]] SLERP i LERP.

 

 

Ich zastosowania w matematyce są jednak o wiele szersze.

 

Uogólnionych algebr kwaternionów używa się w teorii liczb (ładne sformułowanie [[zasada lokalno-globalna|zasady lokalno-globalnej]] Minkowskiego-Hasse), [[geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]] ([[krzywa stożkowa|stożkowe]] jako [[rozmaitość|rozmaitości]] Severi-Brauera); pojawiają się w teorii [[kohomologia|kohomologii]] Galois ([[kohomologia etalna|kohomologii etalnych]]) jako elementy rzędu 2 w [[grupa Brauera|grupie Brauera]] ciała (słynne [[twierdzenie Merkurjewa]] z 1981 identyfikuje owe elementy rzędu dwa jako klasy [[iloczyn tensorowy|iloczynów tensorowych]] uogólnionych algebr kwaternionów); algebraiczna [[K-teoria]] [[rzutowa krzywa stożkowa|rzutowej krzywej stożkowej]] wyraża się przez algebraiczną K-teorię ciała współczynników i K-teorię odpowiedniej uogólnionej algebry kwaternionów. Ogólniej, R. Swan udowodnił w 1985, że algebraiczna K-teoria [[kwadryka|kwadryki]] rzutowej wyraża się przez algebraiczne K-teorie ciała i odpowiedniej [[Aksjomaty i konstrukcje liczb#Algebry Clifforda|algebry Clifforda]], która jest albo algebrą [[macierz]]y nad iloczynem tensorowym uogólnionych algebr kwaternionów, albo [[iloczyn kartezjański|iloczynem kartezjańskim]] dwóch takich algebr (macierzy).

 

== Zobacz też ==

== Bibliografia ==

* Garret Birkhoff, [[Saunders Mac Lane]], ''Przegląd algebry współczesnej'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1963.

 

== Linki zewnętrzne ==