Mechanika Lagrange’a: Różnice pomiędzy wersjami

Rozmiar się nie zmienił ,  2 miesiące temu
m
drobne techniczne
Znacznik: edytor kodu źródłowego 2017
m (drobne techniczne)
 
Funkcja ta w fizyce nierelatywistycznej (tj. dla prędkości ciał niewielkich w relacji do prędkości światła) jest równa różnicy między energią kinetyczną a potencjalną układu{{odn|Torby|1984|s=270}}
: <math>L = T - V,</math>,
 
gdzie:
Np. jeżeli koralik porusza się bez tarcia wzdłuż krzywoliniowego rowka w przestrzeni, to wyznaczenie jego położenia przy użyciu [[Mechanika klasyczna|mechaniki Newtona]] wymagałyby znalezienia zmieniających się w czasie sił więzów, które utrzymują koralik w rowku, a dopiero potem znalezienia zależności współrzędnych kartezjańskich <math>x(t), y(t), z(t)</math> wektora położenia koralika od czasu. Zastosowanie dla tego problemu ujęcia Lagrange’a rozpoczyna się od wyboru najmniejszego zbioru ''niezależnych'' parametrów, czyli współrzędnych uogólnionych. Wybór ten eliminuje potrzebę używania w opisie sił ograniczających ruch (sił więzów). Jest też mniej równań do rozwiązania.
 
Liczba współrzędnych, potrzebnych do określenia ruchu dowolnego układu, jest równa liczbie <math>f</math> ''[[Stopień swobody (fizyka)|stopni swobody]]'' układu. Współrzędne uogólnione oznaczane są zwyczajowo symbolami <math>q_i, i=1,2,\dots, f,</math>, zaś prędkości uogólnione (czyli pochodne po czasie współrzędnych <math>q_i</math>) oznacza się symbolami <math>\dot{q_i}.</math>.
 
Jeżeli układ poddany jest więzom, to liczba stopni swobody układu jest mniejsza od liczby współrzędnych kartezjańskich, za pomocą których można opisać układ. Np. układ złożony z <math>N</math> ciał poruszających się bez więzów w przestrzeni 3-wymiarowej miałby <math>3N</math> współrzędnych kartezjańskich (np. Słońce, [[Planeta|planety]], ich księżyce, komety, i inne obiekty tworzące [[Układ Słoneczny]]). Jeżeli jednak rozważymy układ z więzami, to liczba stopni swobody zmniejszy się. Np. [[cząsteczka]] {{chem2|C2H5OH}} składa się z 9 atomów związanych mocno ze sobą; liczba stopni swobody jest mniejsza niż <math>27,</math>, tym mniejszą, im niższą ma temperaturę; w niskiej temperaturze zanikną np. ruchy związane z jej obrotami czy [[Drgania własne cząsteczki|drganiami]].
 
== Równania ruchu mechaniki Lagrange’a ==
 
'''(2)''' '''Równania Lagrange’a drugiego rodzaju'''
: <math>\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0, \quad i=1,2,\dots,f,</math>,
 
gdzie:
=== Mechanika Newtona ===
Załóżmy, że chcemy opisać ruch pojedynczego ciała w płaszczyźnie pionowej (np. [[Rzut ukośny (fizyka)|rzut ukośny]], [[Rzut pionowy w górę|rzut pionowy]], [[Swobodny spadek|spadek swobodny]] itp.). W ramach mechaniki Newtona zagadnienie to rozwiązujemy korzystając z [[Zasady dynamiki Newtona|II zasady dynamiki]]:
: <math>m\frac{d^2x(t)}{d t^2}=F_x,</math>,
: <math>m\frac{d^2y(t)}{d t^2}=F_y,</math>,
 
gdzie <math>x(t), y(t)</math> – [[Układ współrzędnych kartezjańskich|współrzędne kartezjańskie]] wektora położenia ciała w płaszczyźnie w chwili czasu <math>t,</math>,<math>F_x(x,y,t), F_y(x,y,t)</math> – współrzędne kartezjańskie wektora wypadkowej siły, działającej na cząstkę (zależne w ogólności od położenia cząstki w płaszczyźnie i od czasu).
 
Rozwiązanie tych równań wymaga podania tzw. ''warunków początkowych'', tj. wektorów położenia <math>\mathbf{r_0}=[x_0, y_0]</math> oraz prędkości <math>\mathbf{v_0}=[v_{x0}, v_{y0}],</math>, jakie ciało miało w pewnej ''chwili początkowej'' <math>t_0.</math>. Z rozwiązania tych równań otrzymamy zależności <math>x(t), y(t),</math>, określające położenie ciała w dowolnej chwili.
 
=== Mechanika Lagrange’a ===
[[Plik:Pendulum.jpg|thumb|195x195px|Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe w układzie biegunowym.]]
Jeżeli na ciało działa siła stała w czasie, jak w powyżej podanych przykładach, to zagadnienie nie jest trudne do rozwiązania. Jednakże problem komplikuje się, jeżeli ruch jest ograniczony za pomocą jakiś [[Więzy|więzów]]. Np. gdy ciało zawieszone jest na nierozciągliwej nici, tworząc [[wahadło]], to oprócz stałej w czasie siły grawitacji na ciało działa siła ze strony nici, trzymająca ciało w niezmiennej odległości od punktu zaczepienia – siła ta zmienia się w zależności od kąta odchylenia nici od pionu. Zapisanie równań ruchu we współrzędnych kartezjańskich (metoda Newtona) prowadzi do złożonych równań różniczkowych. Dlatego wygodniejsze jest użycie metody Lagrange’a, tj. zapisanie równań ruchu w tzw. [[Współrzędne uogólnione|współrzędnych uogólnionych]] – w tym wypadku wyrażenie położenia ciała w zależności od kąta odchylenia nici od pionu <math>\theta.</math>. Dzięki temu zamiast dwóch nieznanych funkcji <math>x(t), y(t)</math> szukamy jednej funkcji <math>\theta(t).</math>.
 
Równanie ruchu wahadła określa wzór{{odn|Resnick|Halliday|1999|s=361–364}}:
: <math>\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}+\frac{g}{\ell} \sin\theta(t)=0,</math>,
 
gdzie:
* <math>\theta(t)</math> – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili <math>t,</math>,
* <math>g</math> – przyspieszenie ziemskie,
* <math>\ell</math> – długość nici.
Wyprowadzimy równanie ruchu wahadła korzystając z równań mechaniki Lagrange’a (Aby docenić prostotę obliczeń warto zobaczyć na wyprowadzenie tego samego równania w ramach mechaniki Newtona – por. [[Wahadło#Wahadło matematyczne|wahadło]])
 
'''(1)''' Przyjmujemy jako współrzędną uogólnioną kąta odchylenia nici od pionu <math>\theta.</math>.
 
'''(2)''' Lagrangian układu jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej wahadła (przy czym oś układu współrzędnych biegunowych, od której odmierzamy kąt, przyjmujemy jako skierowaną pionowo w dół):
 
i podstawiając wyrażenie na Lagrangian otrzymujemy:
: <math>ml^2\ddot\theta+mgl \sin(\theta)=0.</math>.
 
Dzieląc obie strony przez <math>ml^2</math> otrzymujemy równanie w podanej postaci.