Przestrzeń Hilberta: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
przypis EPWN |
m Wzory: wyprowadzenie przecinków i kropek kończących zdania poza formułę (znaczniki "<math>...</math>"): regex wyszukaj: (,|\.)(</math>) zastąp: $2$1 Znacznik: Wycofane |
||
Linia 21:
('''2''') W szczególności należą tu [[przestrzeń współrzędnych|przestrzenie współrzędnych]] <math>\mathbb R^n</math> i <math>\mathbb C^n</math> z iloczynami skalarnymi danymi odpowiednio wzorami
: <math>\mathbf x \cdot \mathbf y = \sum_{i=1}^n x_i y_i \qquad\text{oraz}\qquad \mathbf x \cdot \mathbf y = \sum_{i=1}^n x_i \overline{y_i}
gdzie:
:* <math>\mathbf x = (x_1, \dots, x_n)
:* <math>\overline z</math> oznacza [[sprzężenie zespolone]] liczby <math>z
[[Przestrzeń unormowana|Norma]] indukowana z iloczynu skalarnego dana jest wzorem
: <math>\|\mathbf x\| = \sqrt{\mathbf x \cdot \mathbf x}
zaś [[przestrzeń metryczna|metryka]] od niej pochodząca wyraża się wzorem
: <math>d(\mathbf x, \mathbf y) = \|\mathbf x - \mathbf y\|
przy czym jest ona [[przestrzeń zupełna|zupełna]].
Linia 37:
=== Klasyczne przykłady przestrzeni Hilberta ===
* <math>\ell_2</math> – [[przestrzeń Lp]] '''ciągów''' sumowalnych z kwadratem,
* <math>\ell_2(\Gamma)</math> – uogólnienia przestrzeni <math>\ell_2</math> na dowolne zbiory indeksów <math>\Gamma
* <math>L_2(\mu)</math> – [[Przestrzeń Lp|przestrzenie Lp]] zdefiniowane dla funkcji [[całka Lebesgue’a|<math>\mu</math>-całkowalnych z kwadratem]], gdzie <math>\mu</math> – dowolna [[miara (matematyka)|miara]],
* [[przestrzeń Sobolewa|przestrzenie Sobolewa]] <math>W^{k,2}
* [[przestrzeń Hardy’ego]] <math>H^2
Przestrzenie <math>\ell_2(\Gamma)</math> są szczególnymi przypadkami przestrzeni <math>L_2(\mu)
Przestrzenie Sobolewa są jednym z podstawowych narzędzi w nowoczesnej teorii [[równanie różniczkowe cząstkowe|równań różniczkowych cząstkowych]].
Linia 53:
=== Samosprzężoność ===
{{zobacz też|twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)|o1 = twierdzenie Riesza|przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|o2 = przestrzeń sprzężona}}
Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału na przestrzeni Hilberta <math>H</math> mówi, że każdemu elementowi <math>f \in H^*</math> (tj. każdemu [[funkcja ciągła|ciągłemu]] [[forma liniowa|funkcjonałowi liniowemu]] na <math>H</math>) odpowiada jednoznacznie taki element <math>y_f \in H
: <math>f(x) = \langle x, y_f \rangle_H\;\;(x\in H)
Odwzorowanie
Linia 62:
: <math>\Lambda(f)=y_f\;\;(f\in H^*)</math>
jest [[przekształcenie antyliniowe|antyliniowym]] [[izometria|izometrycznym]] [[izomorfizm]]em. Zachodzi również [[twierdzenie odwrotne]]: jeśli dowolny funkcjonał ograniczony <math>f</math> określony na [[przestrzeń unitarna|przestrzeni unitarnej]] <math>U</math> można zapisać wzorem <math>f = \langle \cdot, y_f\rangle</math> dla pewnego <math>y_f\in U
=== Refleksywność ===
Linia 74:
''Dówod.'' Z [[Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)|twierdzenia Riesza (o reprezentacji ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta)]] wynika, że istnieje [[przekształcenie antyliniowe|antyliniowy]] [[izometria|izometryczny]] [[izomorfizm]]
: <math>\Lambda \colon H^*\to H
Niech <math>x_0^{**}</math> będzie ustalonym elementem przestrzeni <math>H^{**}
: <math>f_0(x)=\overline{x_0^{**}(\Lambda^{-1}(x))},\,\;\; (x\in H)</math>
jest liniowy i ciągły oraz dla każdego elementu <math>x</math> przestrzeni <math>H</math> oraz dowolnego <math>f \in H^*</math> zachodzi:
: <math>\big(\kappa(\Lambda f_0)\big)(f)=f\big(\Lambda f_0\big)=\langle \Lambda f_0,\Lambda f\rangle =\overline{\langle \Lambda f,\Lambda f_0\rangle}=\overline{f_0(\Lambda f)}=\overline{x_0^{**}(\Lambda^{-1}(\Lambda x^*))}=x_0^{**}(f)
a zatem
: <math>\kappa(\Lambda f_0)=x_0^{**}
co oznacza, że odwzorowanie <math>\kappa</math> jest [[Funkcja „na”|„na”]], więc przestrzeń <math>H</math> jest refleksywna. <math>\square</math>
Linia 93:
Ośrodkowe przestrzenie Hilberta (tj. zawierające [[zbiór przeliczalny|przeliczalny]] [[zbiór gęsty|podzbiór gęsty]]) mają znacząco lepsze własności od nieośrodkowych przestrzeni Hilberta:
* Dowolna [[przestrzeń unormowana]] nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych skończonego wymiaru <math>n</math> jest [[izometria|liniowo izometryczna]] z pewną [[przestrzeń współrzędnych|przestrzenią współrzędnych]] <math>\mathbb R^n</math> lub <math>\mathbb C^n;</math> stąd można określić na nich [[przestrzeń unitarna|strukturę unitarną]] (zob. [[forma kwadratowa#Reguła równoległoboku|twierdzenie Jordana-von Neumanna]]). Ponadto wspomniane przestrzenie są zupełne i ośrodkowe (ze względu na indukowaną z iloczynu skalarnego metrykę), a więc są przestrzeniami Hilberta.
* Co więcej istnieje jedna i tylko jedna (z dokładnością do [[izomorfizm]]u) ośrodkowa przestrzeń Hilberta nieskończonego wymiaru: wynika to z istnienia [[przekształcenie unitarne|przekształcenia unitarnego]] między tego rodzaju przestrzenią Hilberta a przestrzenią <math>\ell^2</math> (mianowicie [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznacznego]] [[Przekształcenie liniowe|przekształcenia liniowego]] <math>\Lambda</math> danego wzorem <math>\langle \Lambda x, \Lambda y \rangle_{\ell^2} = x \cdot y;</math> na mocy [[nierówność Bessela|nierówności Bessela]] <math>\Lambda x = (x \cdot e_n)_n
Powyższe twierdzenie można uogólnić w naturalny sposób na dowolne przestrzenie Hilberta: przestrzeń Hilberta o [[baza przestrzeni topologicznej|ciężarze]] <math>\kappa</math> jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią <math>\ell^2(\kappa)
=== Charakteryzacja ===
Linia 101:
: 1. <math>X</math> jest przestrzenią Hilberta;
: 2. każda [[zbiór domknięty|domknięta]] [[podprzestrzeń liniowa]] <math>M</math> przestrzeni <math>X</math> ma ''własność najmniejszej odległości'':
:: dla każdego <math>x \in X</math> istnieje taki element <math>P_M(x) \in M
::: <math>\mathrm{dist}(x, M) = \|x - P_M(x)\|
:: przy czym <math>P_M</math> oznacza [[rzut (algebra liniowa)|rzut]] na podprzestrzeń <math>M
: 3. <math>X</math> ma ''własność rozkładu ortogonalnego'':
:: dla każdej domkniętej podprzestrzeni <math>M</math> przestrzeni <math>X</math> zachodzi
::: <math>X = M \oplus M^\perp</math> 4. <math>X</math> ma ''własność reprezentacji Riesza'':
:: dowolny ciągły [[forma liniowa|funkcjonał liniowy]] na <math>X</math> jest postaci <math>\langle \cdot, y\rangle</math> dla pewnego <math>y \in X
Poszczególne implikacje mają swoje nazwy:
Linia 121:
=== Suma prosta dwóch przestrzeni Hilberta ===
'''(1)''' Jeżeli <math>H_1, H_2</math> są przestrzeniami Hilberta, to ich sumą prostą <math>H\equiv H_1 \oplus H_2</math> nazywa się przestrzeń Hilberta, która
* jest [[suma prosta przestrzeni liniowych|sumę prostą]] przestrzeni <math>H_1, H_2
* ma iloczyn skalarnym danym wzorem,
: <math>\big\langle (x_1, y_1),\ (x_2, y_2) \big\rangle_H = \langle x_1, x_2 \rangle_{H_1} + \langle y_1, y_2 \rangle_{H_2}
: gdzie:
: <math>x_1, x_2 \in H_1
: <math>y_1, y_2 \in H_2
: <math>(x_1, y_1), \,\,(x_2, y_2)\in H
tzn. iloczyn skalarny wektorów sumy prostej jest równy sumie iloczynów skalarnych obliczonych między wektorami odpowiednich przestrzeni Hilberta.
'''(2)''' Norma elementów sumy prostej dana jest wzorem
: <math>\|(x_1, y_1)\| = \sqrt{\|x_1\|^2 + \|y_1\|^2}
Norma (długość) wektora sumy prostej jest więc sumą długości wektorów składowych, należących do dodawanych w sposób posty przestrzeni Hilberta.
Linia 145:
nazywa się przestrzeń Hilberta utworzoną ze wszystkich funkcji <math>f</math> na zbiorze <math>I</math> taką że spełnione są warunki:
* <math>f(i) \in H_i</math> dla każdego <math>i
* zbiór <math>\{i \in H: f(i)\ne 0\}</math> jest [[zbiór przeliczalny|przeliczalny]],
* <math>\textstyle\sum_{i\in I}\|f_i\|^2<\infty
wyposażoną w normę
: <math>\|f\| = \sqrt{\sum_{i\in I}\|f_i\|^2}
: gdzie <math>f\in \textstyle\bigoplus_{i\in I}H_i
Norma (długość) wektora sumy prostej przeliczalnej liczby przestrzeni Hilberta jest więc sumą długości wektorów składowych, należących do dodawanych w sposób posty przestrzeni Hilberta.
| |||