Suma prosta przestrzeni liniowych: Różnice pomiędzy wersjami

m
Wzory: wyprowadzenie przecinków i kropek kończących zdania poza formułę (znaczniki "<math>...</math>"): regex wyszukaj: (,|\.)(</math>) zastąp: $2$1. Dodanie kontroli autorytatywnej.
m (Wzory: wyprowadzenie przecinków i kropek kończących zdania poza formułę (znaczniki "<math>...</math>"): regex wyszukaj: (,|\.)(</math>) zastąp: $2$1. Dodanie kontroli autorytatywnej.)
'''Suma prosta przestrzeni liniowych''' – mówimy, że [[przestrzeń liniowa]] <math>V</math> jest przedstawiona w postaci sumy prostej jej [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzeni liniowych]] <math>\{V_i\colon i\in I\}</math> (gdzie <math>I</math> jest pewnym zbiorem indeksów), gdy każdy element <math>v \in V</math> może być jednoznacznie przedstawiony w postaci poniższej sumy:
: <math>v = \sum_{i\in I}v_i</math> dla <math>v_i \in V_i.</math>.
(,|\.)(</math>)
 
Piszemy wówczas:
: <math>V=V_1\oplus \ldots \oplus V_n</math>
 
bądź skrótowo
: <math>V=\bigoplus_{i\in I}V_i,</math>,
(,|\.)(</math>)
 
gdzie <math>I=\{1, \dots, n\}.</math>.
 
Podział danej przestrzeni na sumy proste pozwala klasyfikować jej elementy – jeżeli dany wektor należy do podprzestrzeni <math>V_i,</math>, to wyraża się całkowicie za pomocą wektorów bazy tej podprzestrzeni.
 
Podział przestrzeni na podprzestrzenie tworzące sumę prostą przestrzeni nie jest unikalny – istnieje zazwyczaj wiele możliwych podziałów przestrzeni liniowej na sumy proste.
 
== Twierdzenie ==
Jeżeli <math>V_1</math> jest podprzestrzenią liniową przestrzeni <math>V</math> to zawsze istnieje taka podprzestrzeń <math>V_2,</math>, że
: <math>V=V_1 \oplus V_2.</math>.
 
W algebrze liniowej, podprzestrzenie <math>V_1</math> i <math>V_2</math> nazywane są podprzestrzeniami (''wzajemnie'') ''komplementarnymi''.
* <math>V_p</math> – przestrzeń liniowa [[Funkcje parzyste i nieparzyste|funkcji parzystych]].
 
Dowolną funkcje <math>f</math> można przedstawić jako sumę<math>f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2},</math>,
 
gdzie pierwszy składnik jest funkcją parzystą, drugi zaś nieparzystą. Rozkład ten jest jednoznaczny.
 
lub równoważnie
:<math>n_1 - n_2 = p_2 - p_1.</math>.
 
Prawa strona jest funkcją parzystą (różnica parzystych jest parzysta) zaś lewa – nieparzystą. Jedyną funkcją która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta jest funkcja stale równa zero. Oznacza to że
: <math>p_1 = p_2</math> oraz <math>n_1 = n_2,</math>,
 
co prowadzi nas do sprzeczności z przyjętym założeniem, cdn.
 
Ponieważ każdą funkcję można jednoznacznie przedstawić za pomocą sumy funkcji parzystej i nieparzystej, to oznacza że przestrzeń funkcji można przedstawić jako sumę prostą funkcji parzystych i nieparzystych:
: <math>V=V_p \oplus V_n.</math>.
 
== Przykład 2: Suma prosta w przestrzeni macierzy kwadratowych ==
W przestrzeni liniowej <math>V</math> [[macierz]]y <math>n \times n</math> każdą macierz można przedstawić jako sumę [[Macierz symetryczna|macierzy symetrycznej]] i [[Macierz antysymetryczna|antysymetrycznej]], tzn.
: <math>A=A^{sym}+A^{antysym},</math>,
 
gdzie:
: <math>A^T</math> – macierz transponowana macierzy <math>A,</math>,
: <math>A^{sym}=\frac{1}{2}\left( A + A^T \right)</math> – macierz symetryczna,
: <math>A^{antysym}=\frac{1}{2}\left( A - A^T \right)</math> – macierz antysymetryczna.
b) iloczyn macierzy symetrycznej przez skalar daje macierz symetryczną.
 
Podobnie, macierze antysymetryczne tworzą podprzestrzeń <math>V^{antysym}</math> przestrzeni <math>V.</math>.
 
Ponieważ każdą macierz przestrzeni <math>V</math> da się jednoznacznie rozłożyć na macierz symetryczną i antysymetryczną, to całą przestrzeń można przedstawić jako sumę prostą
: <math>V= V^{sym}\oplus V^{antysym}.</math>.
 
Np. dla macierzy
 
macierz transponowana, symetryczna i antysymetryczna mają postacie
: <math>A^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix},</math>, <math>A^{sym}
= \begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 4 & 3 \\
2 & 3 & 8
\end{bmatrix},</math>, <math>A^{antysym}
= \begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 \\
-1 & 0 & 3 \\
-2 & -3 & 0
\end{bmatrix}.</math>.
 
== Przykład 3: Suma prosta w przestrzeni tensorowej ==
[[Przestrzeń liniowa]] utworzona z [[tensor]]ów II rzędu (tzw. przestrzeń tensorowa) może być przedstawiona jako suma prosta przestrzeni tensorowej tensorów symetrycznych i przestrzeni tensorowej tensorów antysymetrycznych. Np. w reprezentacji macierzowej dowolny tensor II rzędu jest reprezentowany przez macierz <math>n \times n,</math>, gdzie <math>n</math> – wymiar przestrzeni liniowej, na której określono [[pole tensorowe]]. Macierz tę można zawsze przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.
 
== Przykład 4: Przestrzeń wektorowa n-wymiarowa ==
* wybiera się bazę przestrzeni <math>V</math> (możliwych baz jest nieskończenie wiele – najprostsze są bazy kartezjańskie, w ogólności mogą to być bazy [[Współrzędne krzywoliniowe|współrzędnych krzywoliniowych]], np. sferycznych, walcowych, i dowolnych innych),
* zbiór wektorów <math>B=\{e_1,e_2,e_3\}</math> bazy dzieli się na rozłączne podzbiory; np. dla zbioru <math>3</math>-elementowego mamy możliwe podziały bazy:
*: <math>P_1=\{\{e_1\},\{e_2,e_3\}\},</math>,
*: <math>P_2=\{\{e_2\},\{e_3,e_1\}\},</math>,
*: <math>P_3=\{\{e_3\},\{e_1,e_2\}\},</math>,
*: <math>P_4=\{\{e_1\},\{e_2\},\{e_2\}\}.</math>.
 
Każdy z podziałów bazy na podzbiory wyznacza jeden z możliwych sposobów podziału przestrzeni <math>V</math> na sumę prostą podprzestrzeni – bazami tych podprzestrzeni są poszczególne podzbiory bazy w danym podziale. W podanym przykładzie mielibyśmy 4 możliwe podziały na sumy proste, których bazami byłyby podane wyżej podzbiory bazy <math>B=\{e_1,e_2,e_3\}{:}</math>
: <math>V=V_1 \oplus V_{23},</math>,
: <math>V=V_2 \oplus V_{31},</math>,
: <math>V=V_3 \oplus V_{12},</math>,
: <math>V=V_1 \oplus V_2 \oplus V_3.</math>.
 
Dla przestrzeni <math>n</math>-wymiarowej – przy dużej wartości <math>n</math> – możliwych podziałów byłoby bardzo dużo.
{{osobny artykuł|Podprzestrzeń komplementarna}}
W analizie funkcjonalnej, suma prosta podprzestrzeni <math>V_1</math> i <math>V_2</math> danej [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeni liniowo-topologicznej]] <math>X</math> oznacza sumę prostą
: <math>X=V_1\oplus V_2.</math>.
 
przy założeniu, że <math>V_1</math> i <math>V_2</math> są [[zbiór domknięty|domknięte]] (czasami dla odróżnienia, mówi się o ''topologicznej sumie prostej''). Jeśli <math>V_1</math> jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni liniowo-topologicznej <math>X</math> (np. [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]] <math>X</math>), to na ogół, nie istnieje komplementarna do niej podprzestrzeń <math>V_2</math> (tutaj definicję ''komplementarności'' zawęża się o wymaganie domkniętości obu podprzestrzeni). W przypadku, gdy <math>X</math> jest [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]], to [[twierdzenie o rzucie ortogonalnym]] gwarantuje, że dla każdej jej domkniętej podprzestrzeni <math>V_1</math> jej dopełnienie ortogonalne <math>V_1^\perp</math> stanowi rozkład na (topologiczną) sumę prostą, tzn.
: <math>X=V_1\oplus V_1^\perp.</math>.
 
Własność ta (tzn. własność istnienia podprzestrzeni komplementarnej do każdej domkniętej podprzestrzeni) charakteryzuje przestrzenie Hilberta w klasie przestrzeni Banacha.
== Zewnętrzna suma prosta ==
Niech <math>\{V_i\colon i\in I\}</math> będzie rodziną [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych]] nad tym samym [[ciało (matematyka)|ciałem]]. Najmniejszą [[podprzestrzeń liniowa]] [[iloczyn kartezjański|iloczynu kartezjańskiego]]
: <math>\prod_{i\in I} V_i,</math>,
 
która zawiera zbiór
: <math>\bigcup\{j_i[V_i]\colon\, i\in I\},</math>,
 
tzn. jest przez ten zbiór generowana, gdzie
 
przyporządkowuje elementowi <math>v_k\in V_k</math> taki element
: <math>(x_i)_{i\in I}\in \prod_{i\in I} V_i,</math>,
 
że <math>x_k=v_k</math> oraz <math>x_i=0</math> dla <math>i \ne k</math> nazywana jest (''zewnętrzną'') ''sumą prostą'' rodziny <math>\{V_i\colon i\in I\}.</math>.
 
W przypadku zewnętrznej sumy prostej stosuje się takie same oznaczenia jak w przypadku pojęcia zdefiniowanego na początku artykułu (które dla odróżnienia nazywa się wówczas ''wewnętrzną sumą prostą''). Jeżeli <math>I</math> jest [[zbiór skończony|zbiorem skończonym]], to suma prosta przestrzeni jest tym samym co ich [[iloczyn kartezjański]]:
: <math>\bigoplus_{i\in I}V_i=\prod_{i\in I}V_i.</math>.
 
Zewnętrzna suma prosta jest [[koprodukt]]em w [[teoria kategorii|kategorii]] przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem.
 
== Suma prosta odwzorowań ==
Dla pary odwzorowań między przestrzeniami liniowymi <math>V_i</math> i <math>W_i,</math>, <math>i=1,2</math>
: <math>\varphi_1\colon V_1 \to W_1,</math>,
: <math>\varphi_2\colon V_2 \to W_2,</math>,
 
definiuje się ich sumę prostą
 
wzorem
: <math>(\varphi_1 \oplus \varphi_2)(v_1, v_2) = (\varphi_1(v_1), \varphi_2(v_2)).</math>.
 
Analogicznie definiuje się sumę prostą dowolnej liczby odwzorowań: Jeżeli <math>V_i, W_i</math> są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem oraz
: <math>\varphi_i\colon V_i\to W_i,\, i\in I,</math>,
 
to wzór
: <math>\bigoplus_{i\in I}\varphi_i\colon \bigoplus_{i\in I} V_i\to \bigoplus_{i\in I} W_i</math>
 
nazywane ''sumą prostą rodziny odwzorowań'' <math>(\varphi_i)_{i\in I}.</math>.
 
== Suma prosta przestrzeni Banacha ==
Jeżeli <math>\{X_i\colon i\in I\}</math> jest rodziną [[przestrzeń Banacha]], to w (algebraicznej) sumie prostej
: <math>\bigoplus_{i\in I}X_i.</math>.
 
nie da się w naturalny sposób zdefiniować normy, która byłaby w istotny sposób związana z normami poszczególnych przestrzeni <math>X_i,</math>, a uzyskana przestrzeń unormowana byłaby zupełna (poza szczególnym przypadkiem, gdy zbiór <math>I</math> jest skończony). W sytuacji ogólnej musimy rozpatrywać uzupełnienie algebraicznej sumy prostej – jest to procedura którą intuicyjnie można opisać jako dołożenie do niej granic ciągów Cauchy’ego. Na algebraicznej sumie prostej można zadać wiele nierównoważnych norm – prowadzi to powstania wielu różnych sposobów określania sumy prostej.
 
=== ''c''<sub>0</sub>-suma przestrzeni Banacha ===
: <math>X\subseteq \prod_{n\in \mathbb{N}}X_n</math>
 
tych ciągów <math>(x_n)_n,</math>, dla których
: <math>\lim_{n\to \infty}\|x_n\|_n=0</math>
 
jest przestrzenią Banacha z normą
: <math>\|(x_n)_n\|=\sup\{\|x_n\|_n\colon n\in \mathbb{N}\}.</math>.
 
Podprzestrzeń <math>X</math> nazywana jest czasem <math>c_0</math> sumą rozważanej wyżej rodziny przestrzeni Banacha i oznaczana jest symbolem
: <math>X=\left({\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}}X_n\right)_{c_0}.</math>.
 
Analogicznie definiuje się sumy typu <math>c_0(I),</math>, gdzie <math>I</math> jest dowolnym, nieprzeliczalnym zbiorem indeksów.
 
=== ''l''<sup>p</sup>-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni Hilberta ===
Jeżeli <math>\{(X_i, \|\cdot \|_i)\colon i\in I\}</math> jest rodziną przestrzeni Banacha oraz <math>1 \leqslant p < \infty,</math>, to podprzestrzeń
: <math>X\subseteq \prod_{i\in I}X_i</math>
 
złożona z tych elementów <math>(x_i)_i</math> dla których co najwyżej przeliczalnie wiele wyrazów <math>x_i</math> jest niezerowych oraz szereg
: <math>\sum_{i\in I}\|x_i\|_i^p,</math>,
 
jest zbieżny, jest przestrzenią Banacha z normą
: <math>\|(x_i)_i\|_p=\left(\sum_{i\in I}\|x_i\|_i^p\right)^{\frac{1}{p}}.</math>.
 
Przestrzeń <math>X</math> nazywana jest <math>\ell^p</math>-sumą rodziny <math>\{X_i\colon i\in I\}</math> i oznaczana symbolem
: <math>X=\left({\bigoplus_{i\in I}}X_i\right)_{\ell^p}.</math>.
 
Jeżeli <math>p</math> i <math>q</math> są dowolnymi liczbami z przedziału <math>[1, \infty),</math>, to [[przestrzeń unormowana|normy]] w <math>\ell^p</math> – i <math>\ell^q</math>-sumie skończenie wielu przestrzeni Banacha są [[Przestrzeń unormowana|równoważne]].
 
W przypadku, gdy wszystkie przestrzenie <math>X_i</math> są [[przestrzeń Hilberta|przestrzeniami Hilberta]], to ich <math>\ell^2</math>-suma jest również przestrzenią Hilberta. W teorii przestrzeni Hilberta, przestrzeń ta nazywana jest po prostu ''suma prostą przestrzeni Hilberta'' (dolny indeks <math>\ell^2</math> w oznaczeniu najczęściej pomija się). [[Iloczyn skalarny]] elementów <math>(x_i)_i</math> i <math>(y_i)_i</math> w sumie prostej spełnia warunek
: <math>\langle (x_i)_i, (y_i)_i \rangle = \sum_{i\in I} \langle x_i, y_i\rangle_i.</math>.
 
Pojęcie <math>\ell^p</math>-sumy skończenie wielu przestrzeni Banacha pochodzi od [[Stefan Banach|Banacha]]<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Banach |imię=Stefan |autor link=Stefan Banach |tytuł=Théorie des opérations linéaires |url=http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=1&wyd=10 |miejsce=Warszawa |rok=1932 |seria=Monografie Matematyczne |strony=182}} [http://www-irma.u-strasbg.fr/math-cgi-bin/zmen/ZMATH/en/quick.html?format=complete&type=html&an=0005.20901 Zbl 0005.20901].</ref>. Przypadek przeliczalnie wielu przestrzeni Banacha rozważał Day<ref>Mahlon M. Day. ''[http://www.ams.org/journals/bull/1941-47-04/S0002-9904-1941-07451-3/S0002-9904-1941-07451-3.pdf Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces]'', [[Bulletin of the American Mathematical Society]] 47, s. 313–317.</ref>, natomiast przypadek ogólny został zdefiniowany przez Kakutaniego<ref>Shizuo Kakutani, ''[https://www.jstor.org/stable/1968778 Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem]'', Ann. of Math. 42, s. 523–537.</ref>.
 
==== Suma prosta operatorów ograniczonych ====
Jeżeli <math>(T_i)_{i\in I}</math> jest rodziną [[Operator liniowy ograniczony|operatorów jednakowo ograniczonych]] między przestrzeniami Banacha, odpowiednio, <math>X_i</math> i <math>Y_i,</math>, tj.
: <math>\sup_{i\in I}\|T_i\|<\infty,</math>,
 
to dla ustalonego <math>p \geqslant 1</math> definiuje się analogicznie jak w przypadku ogólnych przestrzeni liniowych <math>\ell^p</math>-sumę rodziny <math>(T_i)_{i\in I},</math>, tj. operator
: <math>\left(\bigoplus_{i\in I}T_i\right)_{\ell^p}\colon \left(\bigoplus_{i\in I}X_i\right)_{\ell^p} \to \left(\bigoplus_{i\in I}Y_i\right)_{\ell^p},</math>,
 
zastępując pojęcie sumy prostej pojęciem <math>\ell^p</math>-sumy. W szczególności, <math>\ell^p</math>-suma operatorów ograniczonych jest operatorem ograniczonym oraz
: <math>\left\|\left(\bigoplus_{i\in I}T_i\right)_{\ell^p}\right\|=\sup\{\|T_i\|\colon i\in I\}.</math>.
 
Jeżeli <math>X_i, Y_i</math> są przestrzeniami Hilberta, to <math>\ell^2</math>-sumę operatorów <math>T_i</math> nazywa się ''sumą prostą operatorów na przestrzeniach Hilberta''.
* {{cytuj książkę |nazwisko=Pietsch |imię=Albert |tytuł=History of Banach Spaces and Linear Operators |miejsce=Boston |wydawca=Birkhäuser |rok=2007 |wydanie=pierwsze |strony=126–127 |isbn=0-8176-4367-2}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Robertson |imię=A.P. |nazwisko2=Robertson |imię2=W.J. |tytuł=Topological vector spaces |miejsce=Cambridge Tracts in Mathematics. 53 |wydawca = [[Cambridge University Press]] |rok=1964 |strony=89–90}}
 
{{Kontrola autorytatywna}}
 
[[Kategoria:Przestrzenie liniowe]]