Wzory Freneta: Różnice pomiędzy wersjami

:: <math>\frac{d\mathbf r}{ds} = \mathbf t,\quad |\mathbf t|=1,</math>,

Z punktem <math>P</math> na krzywej przestrzennej <math>K</math> można związać dwa lokalne układy ortogonalnych osi liczbowych. Pierwszy z nich jest nieruchomy, prawoskrętny i określony przez [[Wektor jednostkowy|wersory]] <math>\mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k.</math>. Drugi prawoskrętny układ wersorów <math>\mathbf t,\,\mathbf n,\,\mathbf b</math> jest związany z krzywą i określa trzy istotne kierunki: styczny, normalny i binormalny. Dwa pierwsze wyznaczone są przez wersory

: <math>\mathbf t = \mathbf r^' = x^'\mathbf i+y^'\mathbf j+z^'\mathbf k,</math>,

: <math>\mathbf n = \rho\,\mathbf t^' = \rho\,(x^{''}\mathbf i+y^{''}\mathbf j+z^{''}\mathbf k),\quad \mathbf t^' = \mathbf N,</math>,|1.1}}

{{wzór|<math>\rho = \frac{1}{\sqrt{(x^{''})^2+(y^{''})^2+(z^{''})^2}},</math>,|1.2}}

Jeżeli krzywa <math>S</math> leży na płaszczyźnie <math>\pi</math> o normalnej <math>\mathbf w,</math>, to wektor binormalnej <math>\mathbf b</math> do tej krzywej w każdym jej punkcie jest stały i <math>\mathbf b=\mathbf w.</math>. Płaszczyzna <math>\pi</math> jest w tym przypadku płaszczyzną ściśle styczną dla dowolnego punktu krzywej <math>S.</math>.

: <math>\mathbf b^' = \mathbf t^'\!\times\mathbf n+\mathbf t\times\mathbf n^' = \mathbf N\times\mathbf n+\mathbf t\times\mathbf n^' = \mathbf t\times\mathbf n^',</math>, |1.5}}

ponieważ <math>\mathbf N</math> i <math>\mathbf n</math> są kolinearne. Ponadto z {{LinkWzór|1.5}} wynika, że <math>\mathbf b^'\cdot \mathbf t = 0,</math>, a ponieważ również <math>\mathbf b^'\cdot\mathbf b = 0,</math>,

: <math>\mathbf b^' = \frac{1}{\tau}\mathbf n,</math>,|1.6}}

gdzie <math>\frac{1}{\tau} = T</math> jest torsją krzywej w punkcie <math>P,</math>, określoną wzorem {{LinkWzór|1.8}}.

Poniższa tabelka zawiera kosinusy kierunkowe wersorów Freneta osi stycznej, normalnej i binormalnej z kierunkami osi <math>0x,\,0y,\,0z.</math>.

dzięki temu, że <math>(\mathbf t\times \mathbf N)\cdot\mathbf N=0.</math>.

Torsja <math>T</math> określona w dowolnym punkcie <math>P</math> krzywej <math>K</math> wzorem <math>\mathbf b^'\!\cdot\mathbf n</math> stanowi pewną miarę zwichrowania tej krzywej w bliskim otoczeniu punktu <math>P.</math>. Polega ono na wychylaniu się krzywej z jej płaszczyzny ściśle do niej stycznej w tym punkcie. Gdy torsja ma wartość zerową krzywa w otoczeniu punktu <math>P</math> jest płaska, bez zwichrowania.

: <math>x = x(t),\quad y = y(t),\quad z = z(t).</math>.|1}}

Na tej krzywej wyróżnimy dwa punkty <math>P_o(x_o,\,y_o,\,z_o),</math>, <math>P_1(x_1,\,y_1,z_1)</math> odpowiadające dwom wartościom <math>t_o,\,t_1</math> parametru <math>t.</math>. Przez te punkty przechodzi sieczna opisana równaniem

: <math>\frac{x-x_o}{x_1-x_o} = \frac{y-y_o}{y_1-y_o} = \frac{z-z_o}{z_1-z_o}.</math>.|2}}

Dzieląc mianowniki przez <math>t_1-t_o</math> i przechodząc do granicy <math>t_1\to t_o,</math>, otrzymujemy '''równanie linii stycznej''' do krzywej <math>K</math> w punkcie <math>P_o</math>

: <math>\frac{x-x_o}{\dot x_o} = \frac{y-y_o}{\dot y_o} = \frac{z-z_o}{\dot z_o},</math>,|3}}

gdzie przez <math>\dot x_o,\,\dot y_o,\,\dot z_o</math> oznaczono pochodne względem parametru liczone w punkcie <math>P_o.</math>.

Równanie o postaci {{LinkWzór|3}} jest konsekwencją '''kolinearności''' wektorów <math>\mathbf r-\mathbf r_o</math> i <math>\dot\mathbf r_o.</math>.

: <math>\mathbf\dot r_o\cdot(\mathbf r-\mathbf r_o) = \dot x_o(x-x_o)+\dot y_o(y-y_o)+\dot z_o(z-z_o) = 0.</math>. |4}}

: <math>\mathbf H_o\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0) = A(x-x_o)+B(y-y_o)+C(z-z_0) = 0.</math>.|5}}

Problem polega teraz na tym, aby określić współrzędne <math>A,\,B,\,C</math> takiego wektora <math>\mathbf H_o,</math>, który byłby prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej <math>\pi_o.</math>.

Rozważmy równanie takiej płaszczyzny <math>\pi_1,</math>, na której leży styczna i która

: <math>\mathbf H_1\cdot(\mathbf r_1-\mathbf r_o) = A_1(x_1-x_o)+B_1(y_1-y_o)+C_1(z_1-z_0) = 0.</math>.|7}}

Wektor <math>\mathbf H_1</math> jest również prostopadły do wektora stycznego <math>\dot\mathbf r_o,</math>, który leży na <math>\pi_1{:}</math>

: <math>\mathbf H_1\cdot\dot\mathbf r_o = A_1\dot x_o+B_1\dot y_o+C_1\dot z_o = 0.</math>.|8}}

: <math>A_1(h\dot x_o + \tfrac{1}{2}h^2\ddot x_\lambda) + B_1(h\dot y_o + \tfrac{1}{2}h^2\ddot y_\lambda) + C_1(h\dot z_o + \tfrac{1}{2}h^2\ddot z_\lambda) = 0,</math>,|9}}

gdzie <math>h = t_1-t_o,\quad\lambda = x_o+\theta h,\quad 0<\theta <1.</math>.

: <math>A_1\ddot x_\lambda+B_1\ddot y_\lambda+C_1\ddot z_\lambda = 0.</math>.|10}}

: <math>(\dot y_o\ddot z_o-\dot z_o\ddot y_o)(x-x_o)+(\dot z_o\ddot x_o-\dot x_o\ddot z_o)(y-y_o)+(\dot x_o\ddot y_o-\dot y_o\ddot x_o)(z-z_o).</math>.|11}}

<math>A = \dot y_o\ddot z_o-\dot z_o\ddot y_o, \quad B = \dot z_o\ddot x_o-\dot x_o\ddot z_o, \quad C = \dot x_o\ddot y_o-\dot y_o\ddot x_o.</math>.|12}}

: <math>\mathbf G_o\cdot(\mathbf r-\mathbf r_o) = L(x-x_o)+M(y-y_o)+N(z-z_o) = 0.</math>.|13}}

: <math>\mathbf H_o\cdot\mathbf G_o = AL+BM+CN = 0,</math>,|14}}

: <math>\dot\mathbf r_o\cdot\mathbf G_o = \dot x_oL+\dot y_oM+\dot z_oN = 0.</math>.|15}}

: <math>L = B\dot z_o-C\dot y_o,\quad M = C\dot x_o-A\dot z_o,\quad N = A\dot y_o-B\dot x_o.</math>.|16}}

: <math>\frac{x-x_o}{L} = \frac{y-y_o}{M} = \frac{z-z_o}{N},</math>,|17}}

: <math>\frac{x-x_o}{A} = \frac{y-y_o}{B} = \frac{z-z_o}{C}.</math>.|18}}

: <math>\mathbf t_1\cdot(\mathbf r-\mathbf r_1) = \dot x_1(x-x_1)+\dot y_1(y-y_1)+\dot z(z-z_1) = 0,</math>,|21}}

gdzie <math>\mathbf t_1</math> jest wektorem stycznym do krzywej w punkcie <math>P_1.</math>.

: <math>x = x_o+L\lambda,\quad y = y_o+M\lambda,\quad z = z_o+N\lambda.</math>.|22}}

: <math>\lambda_o = \frac{\dot x_o^2+\dot y_o^2+\dot z_o^2}{L\ddot x_o+M\ddot y_o+N\ddot z_o}.</math>.|24}}

: <math>x_* = x_o+L\lambda_o,\quad y_* = y_o+M\lambda_o,\quad z_* = z_o+N\lambda_o.</math>.|25}}

: <math>\lambda_o = \frac{\dot x_o^2+\dot y_o^2+\dot z_o^2}{A^2+B^2+C^2} = \frac{\dot \mathbf r_o^2}{\mathbf H_o^2}.</math>.|26}}

Punkt o współrzędnych {{LinkWzór|25}} nazywany jest '''środkiem krzywizny''' krzywej <math>K</math> w jej punkcie <math>P_o.</math>.

Miejscem geometrycznym środków krzywizny krzywej <math>K,</math>, o współrzędnych <math>x_*,y_*,z_*,</math>, jest krzywa <math>K_*</math> zwana [[ewoluta|ewolutą]] krzywej <math>K.</math>.

Odległość punktu <math>S_o</math> od punktu <math>P_o</math> jest tak zwanym '''promieniem krzywizny''' <math>\rho</math> krzywej w jej punkcie <math>P_o.</math>. Odległość tę oblicza się na podstawie wzorów {{LinkWzór|25}} po uwzględnieniu tożsamości {{LinkWzór|20}}

: <math>\rho = \lambda_o\sqrt{L^2+M^2+N^2} = \sqrt\tfrac{(\dot x_o^2+\dot y_o^2+\dot z_o^2)^3}{A^2+B^2+C^2} = \lambda_o|\mathbf G_o|.</math>.|27}}

: <math>\kappa = \frac{1}{\rho} = \sqrt\frac{A^2+B^2+C^2}{(\dot x_o^2+\dot y_o^2+\dot z_o^2)^3} = \frac{1}{\lambda_o|\mathbf G_o|} = \frac{\mathbf H_o^2}{|\mathbf G_o|\mathbf\dot r_o^2}.</math>.|28}}

:: <math>\mathbf h = \frac{\mathbf H}{|\mathbf H|},</math>,

:: <math>\mathbf H = A\,\mathbf i+B\,\mathbf j+C\,\mathbf k = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\x^'&y^'&z^'\\x^{''}&y^{''}&z^{''}\end{vmatrix},</math>,

: <math>\mathbf H^' = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\x^'&y^'&z^'\\x^{'''}&y^{'''}&z^{'''}\end{vmatrix},</math>,|29}}

: <math>\mathbf h^' = T\mathbf n,\quad \mathbf n = \rho\mathbf N,\quad \mathbf N = x^{''}\mathbf i+y^{''}\mathbf j+z^{''}\mathbf k,</math>,|30}}

Na podstawie {{LinkWzór|31}} i dzięki temu, że <math>\mathbf H = \tfrac{1}{\rho}\mathbf b,</math>, otrzymujemy

: <math>x(t)=a\cos t,\;y(t)=b\sin t,\;z(t)=0,</math>,

: <math>\dot x(t)=-a\sin t,\;\dot y(t)=b\cos t,\;\dot z(t)=0,</math>,

: <math>ds(t)=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}dt=\sigma(t)dt,\;\tfrac{dt}{ds}=\tfrac{1}{\sigma},</math>,

: <math>\sigma(t)=\sqrt{a^2\sin^2 t+b^2\cos^2 t},\;\dot \sigma=\tfrac{a^2-b^2}{\sigma}\sin t\cos t,</math>,

: <math>x^'(s)=-\tfrac{a}{\sigma}\sin t,\;\;y^'(s)=\tfrac{b}{\sigma}\cos t,</math>,

: <math>x^{''}(s)=-\tfrac{ab^2}{\sigma^4}\cos t,\;\;y^{''}=-\tfrac{a^2 b}{\sigma^4}\sin t,</math>,

: <math>\rho=\tfrac{1}{\sqrt{(x^{''})^2+(y^{''})^2}}=\tfrac{\sigma^3}{ab},</math>,

\end{vmatrix}=(0,\;0,\;1),</math>,

: <math>T=0</math> &nbsp;-&nbsp; ponieważ <math>\mathbf b=const.</math>.

'''2. Okrąg''' na płaszczyźnie o normalnej: <math>{}\qquad\mathbf b=(0,\;-\sin\alpha,\;\cos\alpha).</math>.

: <math>x(t)=r\cos t,\;y(t)=r\cos\alpha\sin t,\;z(t)=r\sin\alpha\sin t,</math>,

: <math>\dot x(t)=-r\sin t,\;\dot y(t)=r\cos\alpha\cos t,\;\dot z(t)=r\sin\alpha\cos t,</math>,

: <math>ds=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}dt=rdt,</math>,

: <math>x^'(s)=-\sin t,\;y^'(s)=\cos\alpha\cos t,\;z^'(s)=\sin\alpha\cos t,</math>,

: <math>x^{''}(s)=-\tfrac{1}{r}\cos t,\;y^{''}(s)=-\tfrac{1}{r}\cos\alpha\sin t,\;z^{''}(s)=-\tfrac{1}{r}\sin\alpha\sin t,</math>,

: <math>\rho=\tfrac{1}{\sqrt{(x^{''})^2+(y^{''})^2+(z^{''})^2}}=r,</math>,

\end{vmatrix}=(0,\;-\sin\alpha,\;\cos\alpha),</math>,

: <math>T=0</math> &nbsp;-&nbsp; ponieważ <math>\mathbf b=const.</math>.

'''3. Spirala na walcu kołowym''', '''[[linia śrubowa]]''' – krzywa „nawinięta” na walec o promieniu <math>r.</math>. Spirala jest prawoskrętna wokoło osi <math>0z.</math>.

: <math>x(t)=r\cos t,\;y(t)=r\sin t,\;z(t)=\tfrac{hr}{2\pi}t,</math>,

: <math>\dot x(t)=-r\sin t,\;\dot y(t)=r\cos t,\;\dot z(t)=\tfrac{hr}{2\pi},</math>,

: <math>ds=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}dt=r\sigma dt,\quad\tfrac{dt}{ds}=\tfrac{1}{r\sigma},\quad t=\tfrac{s}{r}\cos\varphi,</math>,

: <math>\sigma=\sqrt{1+\left(\tfrac{h^2}{4\pi^2}\right)},\quad \tfrac{1}{\sigma}=\cos\varphi,\quad \tfrac{h}{2\pi\sigma}=\sin\varphi,</math>,

: <math>x^'(s)=-\cos\varphi\sin t,\;y^'(s)=\cos\varphi\cos t,\;z^'(s)=\sin\varphi,</math>,

: <math>x^{''}(s)=-\tfrac{1}{r}\cos^2\varphi\cos t,\quad y^{''}(s)=-\tfrac{1}{r}\cos^2\varphi\sin t,\quad z^{''}(s)=0,</math>,

: <math>\rho=\tfrac{1}{\sqrt{(x^{''})^2+(y^{''})^2}}=\tfrac{r}{\cos^2\varphi},</math>,

: <math>x^{''}(s)=-\tfrac{1}{\rho}\cos t,\quad y^{''}(s)=-\tfrac{1}{\rho}\sin t,\quad z^{''}(s)=0,</math>,

: <math>x^{'''}(s)=\tfrac{1}{\rho r\sigma}\sin t,\quad y^{'''}(s)=-\tfrac{r}{\rho r\sigma}\cos t,\quad z^{'''}(s)=0,</math>,

: <math>{}\qquad=(\sin\varphi\sin t,\;-\sin\varphi\cos t,\;\cos\varphi),</math>,

\end{vmatrix}=-\tfrac{1}{r\sigma}\sin\varphi=-\tfrac{1}{r}\cos\varphi\sin\varphi.</math>.

: <math>x(t)=t,\,y(t)=t^2,\,z(t)=0,</math>,

: <math>\dot x(t)=1,\;\dot y(t)=2t,\;\dot z(t)=0,</math>,

: <math>ds(t)=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}dt=\sigma(t)dt,\;\tfrac{dt}{ds}=\tfrac{1}{\sigma},</math>,

: <math>\sigma(t)=\sqrt{1+4t^2},\quad \dot{\sigma}(t)=\tfrac{4t}{\sigma},</math>,

y^'(s)=\tfrac{2t}{\sigma},\quad z'(s)=0,</math>,

: <math>x^{''}(s)=-\tfrac{4t}{\sigma^4},\quad y^{''}(s)=\tfrac{2}{\sigma^4},\quad z^{''}(s)=0,</math>,

: <math>\rho=\tfrac{1}{\sqrt{(x^{''})^2+(y^{''})^2}}=\tfrac{\sigma^3}{2},</math>,

\end{vmatrix}=(0,\;0,\;1),</math>,

\end{vmatrix}=0.</math>.

: <math>x(t)=t,\;y(t)=t^2,\;z(t)=ht,</math>,

: <math>\dot x(t)=1,\;\dot y(t)=2t,\;\dot z(t)=h,</math>,

: <math>\sigma(t)=\sqrt{1+h^2+4t^2},\quad \dot{\sigma}(t)=\tfrac{4t}{\sigma},</math>,

: <math>x^'(s)=\tfrac{1}{\sigma},\;y^'(s)=\tfrac{2t}{\sigma},\;z^'(s)=\tfrac{h}{\sigma},</math>,

: <math>x^{''}(s)=-\tfrac{4t}{\sigma^4},\;y^{''}(s)=\tfrac{2\kappa^2}{\sigma^4},\;z^{''}(s)=-\tfrac{4ht}{\sigma^4},</math>,

: <math>x^{'''}(s)=-\tfrac{4}{\sigma^7}\scriptstyle{(\sigma^2-16t^2)},\;y^{'''}(s)=-\tfrac{32\kappa^2 t}{\sigma^7},\;z^{'''}(s)=-\tfrac{4h}{\sigma^7}\scriptstyle{(\sigma^2-16t^2)},</math>,

: <math>\rho=\tfrac{1}{\sqrt{(x^{''})^2+(y^{''})^2+(z^{''})^2}}=\tfrac{\sigma^3}{2\kappa},\;\kappa=\sqrt{1+h^2},</math>,

\end{vmatrix}=(-\tfrac{h}{\kappa},\;0,\;\tfrac{1}{\kappa}),</math>,

\end{vmatrix}=0.</math>.

Zerowanie się torsji wynika również bezpośrednio z faktu, że <math>\mathbf b=const.</math>. Rozważana krzywa w całości leży na swojej płaszczyźnie ściśle stycznej o normalnej <math>\mathbf b.</math>.

: <math>x(t)=at\cos t,\;y(t)=at\sin t,\;z(t)=0,</math>,

: <math>\dot x(t)=a(\cos t-t\sin t),\;\dot y(t)=a(\sin t+t\cos t),\;\dot z(t)=0,</math>,

: <math>ds(t)=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}dt=\sigma(t)dt,</math>,

: <math>\sigma(t)=a\sqrt{1+t^2},\quad \dot{\sigma}(t)=\tfrac{a^2 t}{\sigma},</math>,

: <math>x^'(s)=\tfrac{a}{\sigma}(\cos t-t\sin t),\;y^'(s)=\tfrac{a}{\sigma}(\sin t+t\cos t),\;z^'(s)=0,</math>,

: <math>x^{''}(s)=-\tfrac{a}{\sigma^4}(\mu t\cos t+\nu\sin t),\quad\mu=a^2+\sigma^2,</math>,

: <math>y^{''}(s)=\tfrac{a}{\sigma^4}(\nu\cos t-\mu t\sin t),\quad\nu=2\sigma^2-a^2t^2,</math>,

: <math>\rho=\tfrac{1}{\sqrt{(x^{''})^2+(y^{''})^2}}=\tfrac{\sigma^4}{\alpha},\quad\alpha=a\sqrt{\mu^2 t^2+\nu^2},</math>,

: <math>{}\qquad =\left[0,\;0,\;\tfrac{a^2\sigma}{\alpha}\scriptstyle{(t^2+2)}\right]=(0,\,0,\,1),</math>,

: <math>T=0.</math>.

: <math>\dot x(t)=b\cos t-(a+bt)\sin t,</math>,

: <math>\dot y(t)=b\sin t+(a+bt)\cos t,\quad \dot z(t)=h,</math>,

: <math>ds(t)=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+(\dot z)^2+}dt=\sigma(t)dt,</math>,

: <math>\sigma(t)=\sqrt{b^2+h^2+(a+bt)^2},\quad \dot{\sigma}(t)=\tfrac{b}{\sigma}(a+bt),</math>,

: <math>x^'(s)=\tfrac{1}{\sigma}[b\cos t-(a+bt)\sin t],</math>,

: <math>y^'(s)=\tfrac{1}{\sigma}[b\sin t+(a+bt)\cos t],\quad z^'(s)=\tfrac{h}{\sigma},</math>,

: <math>x^{''}(s)=-\tfrac{1}{\sigma^4}(\mu\cos t+\nu\sin t),</math>,

: <math>y^{''}(s)=\tfrac{1}{\sigma^4}(\nu\cos t-\mu\sin t),\quad z^{''}(s)=-\tfrac{bh}{\sigma^4}\scriptstyle{(a+bt)},</math>,

: <math>\mu=(\sigma^2+b^2)(a+bt),\;\;\nu=b[2\sigma^2-(a+bt)^2],</math>,

: <math>\rho=\tfrac{1}{\sqrt{(x^{''})^2+(y^{''})^2+(z^{''})^2}}=\tfrac{\sigma^4}{\kappa},\quad \kappa=\sqrt{\scriptstyle{\mu^2+\nu^2+b^2h^2(a+bt)^2}},</math>,

: <math>=\{\tfrac{h\sigma}{\kappa}\scriptstyle{[-2b\cos t+(a+bt)\sin t]},\;\;-\tfrac{h\sigma}{\kappa}\scriptstyle{[(a+bt)\cos t+2b\sin t]},\;\;\tfrac{\sigma}{\kappa}\scriptstyle{[2b^2+(a+bt)^2]}\;\},</math>,

: <math>|\mathbf b|=1,</math>,

: <math>\beta=\mu\sigma^2+4\nu b(a+bt),\quad\gamma=\nu\sigma^2-4\mu b(a+bt),</math>,

\end{vmatrix}.</math>.

'''8. Spirala na walcu eliptycznym''' – krzywa „nawinięta” na taki walec o półosiach <math>a,b.</math>.

: <math>x(t)=a\cos t,\;y(t)=b\sin t,\;z(t)=ht,</math>,

: <math>\dot x(t)=-a\sin t,\;\dot y(t)=b\cos t,\;\dot z(t)=h,</math>,

: <math>ds(t)=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}dt=\sigma(t)dt,</math>,

: <math>\sigma(t)=\sqrt{a^2\sin^2 t+b^2\cos^2 t+h^2},</math>,

: <math>x^'(s)=-\tfrac{a}{\sigma}\sin t,\;y^'(s)=\tfrac{b}{\sigma}\cos t,\;z^'(s)=\tfrac{h}{\sigma},</math>,

: <math>x^{''}(s)=-\tfrac{\alpha}{\sigma^4}\cos t,\;\;\;y^{''}(s)=-\tfrac{\beta}{\sigma^4}\sin t,</math>,

: <math>z^{''}(s)=-\tfrac{\gamma}{\sigma^4}\sin t\cos t,</math>,

: <math>\alpha=a(b^2+h^2),\;\;\beta=b(a^2+h^2),\;\;\gamma=h(a^2-b^2),</math>,

: <math>\rho=\tfrac{1}{\sqrt{(x^{''})^2+(y^{''})^2+(z^{''})^2}}=\tfrac{\sigma^4}{\kappa},</math>,

: <math>\kappa=\sqrt{\scriptstyle{\alpha^2\cos^2 t+\beta^2\sin^2 t+\gamma^2\sin^2 t\cos^2 t}},</math>,

\right),</math>,

: <math>x(t)=r\cos t,\;\;y(t)=r\sin t,\;\;z(t)=h\sin nt,</math>,

: <math>\dot x(t)=-r\sin t,\;\;\dot y(t)=r\cos t,\;\;\dot z(t)=nh\cos nt,</math>,

: <math>ds(t)=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}dt=\sigma(t)dt,</math>,

: <math>\sigma(t)=\sqrt{r^2\sin^2 t+r^2\cos^2 t+n^2h^2\cos^2 n t},</math>,

: <math>x^'(s)=-\tfrac{r}{\sigma}\sin t,\;\;y^'(s)=\frac{r}{\sigma}\cos t,\;\;z^'(s)=\tfrac{nh}{\sigma}\cos nt,</math>,

: <math>x^{''}(s)=-\tfrac{r}{\sigma^4}(\varphi\sin t+\sigma^2\!\cos t),</math>,

: <math>y^{''}(s)=\tfrac{r}{\sigma^4}(\varphi\cos t-\sigma^2\!\sin t),\quad z^{''}(s)=\tfrac{nh}{\sigma^4}\psi,</math>,

: <math>\varphi(nt)=n^3 h^2\!\sin nt\cos nt,\;\;\;\psi(nt)=(n^3 h^2\!\cos^2\! nt-\sigma^2)\sin nt,</math>,

: <math>\rho=\tfrac{1}{\sqrt{(x^{''})^2+(y^{''})^2+(z^{''})^2}}=\tfrac{\sigma^4}{\kappa},</math>,

: <math>\kappa=\sqrt{r^2(\varphi^2+\sigma^4)+n^2h^2\psi^2},</math>,

: <math>x(t)=rt-c\sin t,\;\;y(t)=r-c\cos t,\;\;z(t)=0,</math>,

: <math>\dot x(t)=r-c\cos t,\;\;\dot y(t)=c\sin t,</math>,

: <math>ds=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}dt=\sigma(t) dt,</math>,

: <math>\sigma(t)=\sqrt{r^2+c^2-2rc\cos t},\;\;\dot\sigma(t)=\tfrac{rc}{\sigma}\sin t,</math>,

: <math>x^'(s)=\tfrac{1}{\sigma}(r-c\cos t),\;\;y^'(s)=\tfrac{c}{\sigma}\sin t,</math>,

: <math>x^{''}(s)=\tfrac{1}{\sigma^4}(rc^2\cos t+\sigma^2-r^2 c)\sin t=\tfrac{1}{\sigma^4}\varphi(t),</math>,

: <math>y^{''}(s)=\tfrac{1}{\sigma^4}(\sigma^2\cos t-rc\sin^2 t)=\tfrac{1}{\sigma^4}\psi(t),</math>,

: <math>\rho=\tfrac{\sigma^4}{\kappa},\;\;\kappa=\sqrt{\varphi^2+\psi^2},</math>,

: <math>{}\qquad =\left\{0,\;\;0,\;\;\tfrac{1}{\kappa\sigma}[(r-c\cos t)\psi-(c\sin t)\varphi]\right\}.</math>.

Przypuśćmy, że <math>\mathbf r(s)</math> opisuje gładką krzywą w <math>R^n,</math>, sparametryzowaną przez długość łuku <math>s</math> oraz że pierwsze <math>n</math> pochodnych <math>\mathbf r(s)</math> jest liniowo niezależnych. Geometrycznie oznacza to, że krzywa <math>\mathbf r(s)</math> nie zawiera się w żadnej [[hiperpłaszczyzna|hiperpłaszczyźnie]] o wymiarze <math>n-1</math> (ani w żadnej płaszczyźnie o niższych wymiarach). Wektory układu Freneta są bazą ortogonalną skonstruowaną przy pomocy [[Ortogonalizacja Grama-Schmidta|ortogonalizacji Grama-Schmidta]] wykonanej na wektorach <math>\mathbf r(s),\,\mathbf r^'(s),\,\mathbf r^{''}(s),\,...\,\mathbf r^{(n)}(s).</math>.

:: <math>\mathbf e_1(s) = \mathbf r'(s).</math>.

Wektor normalny <math>\overline{\mathbf e_2}(s),</math>, czasami nazywany wektorem krzywizny, wskazuje odchylenie krzywej od stycznej linii prostej. Jest zdefiniowany jako

:: <math>\overline{\mathbf e_2}(s) = \mathbf r''(s) - \Big\langle \mathbf r''(s)\centerdot \mathbf e_1(s) \Big\rangle \mathbf e_1(s).</math>.

:: <math>\mathbf e_2(s) = \frac{\overline{\mathbf e_2}(s)} {\|\overline{\mathbf e_2}(s)\|}.</math>.

Wektor styczny i normalny w punkcie <math>s</math> definiują płaszczyznę ściśle styczną w punkcie <math>\mathbf r(s).</math>.

\overline{\mathbf e_j}(s) = \mathbf r^{(j)}(s) - \sum_{i=1}^{j-1} \Big\langle\mathbf r^{(j)}(s)\,\centerdot\, \mathbf e_i(s) \Big\rangle \, \mathbf e_i(s).</math>.

są nazywane ''krzywiznami uogólnionymi'', przy czym symbol <math>\langle\mathbf a\centerdot\mathbf b\rangle</math> oznacza iloczyn skalarny wektorów <math>\mathbf a</math> i <math>\mathbf b.</math>.

:: <math>\mathbf e_j^'(s) = \chi_j(s)\mathbf e_{j+1} - \chi_{j-1}(s)\mathbf e_{j-1}</math> dla <math>j = 1\dots n.</math>.

\end{bmatrix}.</math>.