Małe twierdzenie Fermata: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
przypis EPWN |
Funkcja sugerowania linków: dodane 2 linki. |
||
Linia 6:
lub inaczej<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3900481 | tytuł = Fermata twierdzenie małe | data dostępu = 2021-09-30 }}</ref>:
: jeśli <math>p</math> jest liczbą pierwszą, a <math>a</math> jest taką [[Liczby całkowite|liczbą całkowitą]], że liczby <math>a</math> i <math>p</math> są [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwsze]], to <math>a^{p-1} - 1</math> dzieli się przez <math>p.</math> Innymi słowy,
:: <math>a^{p-1} - 1 \equiv 0 \pmod p,</math>
: albo
Linia 17:
=== Dowód kombinatoryczny ===
[[Plik:MTFproof.png|right|100px|Graficzne przedstawienie dowodu]]
Bez straty ogólności można założyć, że <math>a</math> jest [[Liczby naturalne|liczbą naturalną]]. Rozpatrzmy wszystkie możliwe kolorowania koła podzielonego na ''p'' części za pomocą ''a'' kolorów. Kolorowania, które możemy na siebie nałożyć po obróceniu, liczymy jako dwa różne. Wszystkich kolorowań jest <math>a^p.</math>
Wszystkie kolorowania, w których wykorzystaliśmy co najmniej dwa kolory możemy obracać tak, że otrzymamy zestawy po ''p'' parami różnych kolorowań, które są swoimi obrotami (przykładowe cztery z pewnego zestawu dla ''p''=7, ''a''=3 są przedstawione na rysunku). Jeżeli w pewnym zestawie utworzonym w ten sposób wystąpiłyby takie same kolorowania, to oznaczałoby to, że kąt pełny jest wielokrotnością pewnego kąta <math>\tfrac{2 \pi n}{p},</math> o który trzeba obrócić jedno z tych kolorowań, aby otrzymać drugie. W przypadku, gdy wykorzystaliśmy jeden kolor, nie jest to możliwe. Zatem:
| |||