Liczby względnie pierwsze: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 1006 bajtów ,  2 miesiące temu
drobne merytoryczne, źródła/przypisy
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
m (Wycofano edycje użytkownika 89.64.44.187 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Tarnoob.)
Znacznik: Wycofanie zmian
(drobne merytoryczne, źródła/przypisy)
 
'''Liczby względnie pierwsze''' – [[liczby całkowite]], których [[największy wspólny dzielnik|największym wspólnym dzielnikiem]] jest jeden<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3932380 | tytuł = liczby względnie pierwsze | data dostępu = 2021-10-08 }}</ref>.
 
Jeżeli liczby <math>a,b</math> są względnie pierwsze zapisuje się to symbolicznie jako <math>a \perp b</math> lub <math>\mbox{NWD}(a,b)=1</math><ref name=":0">{{Cytuj |autor = Adam Neugebauer |tytuł = Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb |data = 2018 |data dostępu = 2022-07-13 |isbn = 978-83-7267-710-5 |wydanie = 1 |miejsce = Kraków |wydawca = Wydawnictwo Szkolne OMEGA |s = 23, 146 |oclc = 1055646686}}</ref>.
 
'''Liczby parami względnie pierwsze''' – liczby całkowite, wśród których każde dwie różne są względnie pierwsze.
 
Fakt, że liczby <math>a,b,c,...d</math> są parami względnie pierwsze, zapisuje się symbolicznie <math>\mbox{NWD}(a,b,c,\dots,d)=1.</math>
 
Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest [[algorytm Euklidesa]]<ref>{{Cytuj |autor = Tom M. Apostol |tytuł = Introduction to analytic number theory |data = 2010 |data dostępu = 2022-07-13 |isbn = 978-1-4757-5579-4 |miejsce = New York |s = 19-21 |oclc = 861705475}}</ref>. [[funkcja φ|Funkcja Eulera]] dodatniej liczby całkowitej <math>n</math> jest liczbą [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]] między 1 a <math>n,</math> które są względnie pierwsze z <math>n.</math><ref name=":0" />.
 
== Przykłady ==
Ogólniej:<br />
Na to, aby liczby <math>a_1,..., a_n</math> były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite <math>k_1,..., k_n</math> spełniające równanie
: <math>k_1 a_1 + ... + k_n a_n = 1</math><ref name=":1">{{Cytuj |autor = Władysław Narkiewicz |tytuł = Teoria liczb |data = 2003 |data dostępu = 2022-07-13 |isbn = 83-01-14015-1 |wydanie = 3 |miejsce = Warszawa |wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN |s = 20-21, 29-31, 335 |oclc = 749285993}}</ref>.
: <math>k_1 a_1 + ... + k_n a_n = 1.</math>
 
== Uogólnienie ==
W [[pierścień (matematyka)|pierścieniu]] przemiennym z jedynką <math>R</math> [[Ideał (teoria pierścieni)|ideały]] <math>I</math> i <math>J</math> nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna <math>I + J</math> jest całym pierścieniem<ref name=":1" />.
 
W [[PierścieńDziedzina ideałów głównych|dziedzinach ideałów głównych]] można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych: <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element <math>d</math> dzieli <math>a</math> i dzieli <math>b</math> wynika, że <math>d</math> jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać{{Potrzebny przypis|data=2022-07}}.
 
Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w <math>\mathbb{Z}</math> (bo <math>\mathbb{Z}</math> jest dziedziną ideałów głównych){{Potrzebny przypis|data=2022-07}}.
 
== Zobacz też ==