Układ współrzędnych kartezjańskich: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017
Linia 3:
 
== Pochodzenie nazwy ==
Nazwa układu pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa [[René Descartes|Kartezjusza]] (René Descartes, franc. przymiotnik ''cartesien''), który wprowadził tę ideę w 1637 w traktacie ''La Géométrie''<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594.r=.langEN ''Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences: plus la dioptrique, les météores, et la géométrie, qui sont des essais de cete méthode''. Lejda: Jan Maire, 1637].</ref>. Już wcześniej, w 1636 metody prostokątnego układu współrzędnych używał [[Pierre de Fermat]], jednak tego nie opublikował, przez co pozostała nieznana. Kartezjusz opracował układ współrzędnych niezależnie, co wywołało spór o pierwszeństwo z Fermatem. Spór zakończył się ostatecznie pogodzeniem obu uczonych i wzajemnym uznaniem zasług<ref>{{cytuj |redaktor = Neil Schlager, Josh Lauer |tytuł = Science and Its Times. Understanding the Social Significance of Scientific Discovery |miejsce = Farmington Hills, MI |wydawca = Gale Group |opis = t. III., 1450-16991450–1699 |data = 2000 |s = 242}}</ref>.
 
== Definicja ==
Linia 10:
* ciąg ''n'' parami prostopadłych [[oś liczbowa|osi liczbowych]] zwanych '''osiami układu współrzędnych'''. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
** <math>X</math> (pierwsza oś, zwana '''osią odciętych'''),
** <math>Y</math> (druga, zwana '''osią rzędnych'''),.
 
Liczba osi układu współrzędnych wyznacza [[wymiar (matematyka)|wymiar przestrzeni]].
Linia 17:
{{Osobny artykuł|Wykres funkcji}}
Za pomocą układu współrzędnych kartezjańskich można tworzyć wykresy [[Funkcja|funkcji]] jednoargumentowych postaci:
: <math> y = f(x) ,</math>
 
np.:
: <math> f(x) = a x + b </math>
: <math>f(x) = ax + b</math>

przedstawia [[Funkcja liniowa|funkcję liniową]]. Podstawiając pod <math>x</math> wartości, otrzymujemy drugą współrzędną <math>y.</math>.
 
== Współrzędne ==
Linia 33 ⟶ 35:
 
== Wzory w 2-wymiarowym układzie współrzędnych ==
* Współrzędne środka odcinka AB oznaczonego literą C, kiedy <math>{\displaystyle A =( {(a}, {b}}),</math> <math>{\displaystyle B =( {(c}, {d}})</math>
:: <math>{\displaystyleC C= \left({\tfrac{a+c}{2}},{ \tfrac{b+d}{2}}}\right)</math>
 
<math>{\displaystyle C=({\tfrac{a+c}{2}},{\tfrac{b+d}{2}}})</math>
 
* odległość punktu A od środka układu współrzędnych dla <math>{\displaystyle A=( {a}, {b}})</math>
 
<math>A= \sqrt{a^2+ b^2}</math>
 
* Długośćodległość odcinkapunktu ABA dlaod <math>{\displaystyleśrodka A=(układu {a},współrzędnych {b}}),</math>dla <math>{\displaystyleA B= ( {c}a, {d}}b)</math>
:: <math> f(x)A = \sqrt{a x ^2+ b ^2}</math>
 
* Długość odcinka AB dla <math>\left\vertA AB\right\vert= \sqrt{(a-c)^2+, (b-d)^2},</math> lub <math>\left\vertB AB\right\vert= \sqrt{(c-a)^2+, (d-b)^2}</math>
:: <math>\vert AB\vert = \sqrt{(a-c)^2+ (b-d)^2}\quad{}</math> lub <math>{}\quad{}\vert AB\vert = \sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2}.</math>
 
== Ćwiartki i oktanty ==
Linia 49 ⟶ 48:
Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery [[przystawanie (geometria)|przystające]], [[zbiór ograniczony|nieograniczone]] zbiory nazywane '''ćwiartkami'''; [[brzeg (matematyka)|brzeg]] każdej z nich składa się z dwóch półosi<ref group="uwaga">Nie jest to jednak podział na podzbiory rozłączne; takiego podziału na cztery części przystające nie da się dokonać, bowiem początek układu musiałby należeć do jednej tylko części.</ref>. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza [[rzymski system zapisywania liczb|symbolami rzymskimi]]: I (+,+), II (–,+), III (–,–) oraz IV (+,–), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Przy zwyczajowym rysowaniu osi, numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
 
Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem części zwanych '''oktantami'''<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3950621 | tytuł = oktant | data dostępu = 2021-10-03 }}</ref>, zgodnie z ośmioma sposobami ułożenia dwóch znaków +,– na trzech miejscach. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie, nazywany bywa ''pierwszym'', jednak nie ma ogólnie przyjętej numeracji pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywane bywa '''ortantem'''{{odn|Smoluk|2017|s=234}}.
 
== Skrętność przestrzeni trójwymiarowej<ref>Używany też bywa termin: ''orientacja'' przestrzeni (K. Borsuk, ''Geometria analityczna wielowymiarowa'', PWN, Warszawa 1964, s. 58).</ref> ==
Kartezjański układ współrzędnych w [[przestrzeń trójwymiarowa|przestrzeni trójwymiarowej]] może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.
 
Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi <math>OX</math> do <math>OY,</math> to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi <math>OZ</math> (tzw. [[reguła prawej dłoni]] Royberta albo [[reguła śruby prawoskrętnej]]). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność, co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.
 
== Zobacz też ==
Linia 69 ⟶ 68:
 
== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę | imięnazwisko = AntoniSmoluk | nazwiskoimię = SmolukAntoni | tytuł = Analiza matematyczna | wydawca = Wydawnictwo [[Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu|Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu]] | miejsce = Wrocław | rok = 2017 | isbn = 978-83-7695-634-3 | odn = tak }}
 
{{Kontrola autorytatywna}}