Wnętrze (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 26 bajtów ,  14 lat temu
m
<sup>o</sup> -> °, drobne techniczne
m (<sup>o</sup> -> °, drobne techniczne)
'''Wnętrze''' [[zbiór|zbioru]] (figury, bryły) ''F'' – w [[geometria|geometrii]] lub [[Topologia|topologii]] oznacza zbiór tych [[punkt|punktów]]ów przestrzeni, które należą do zbioru ''F'' wraz z pewnym swoim [[otoczenie punktu|otoczeniem]]. Wnętrze zbioru ''F'' oznaczamy Int(''F''), int(''F'') lub ''F''<sup>o</sup>°. Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy '''punktami wewnętrznymi''' zbioru.
 
<center>[[grafikaGrafika:Otoczenia.png|center|300px]]</center>
Na rysunku punkt ''W'' jest punktem wewnętrznym figury.
 
== Własności ==
Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.
#Wnętrze jest [[zbiór otwarty|otwartym podzbiorem]] ''F''.
#int(int(''S'')) = int(''S'').
#Jeżeli ''S'' jest podzbiorem ''F'', to int(''S'') jest podzbiorem int(''F'').
#int(''S''&cap;''F'')=int(''S'')&cap;int∩int(''F'')
#Jeżeli ''S'' jest zbiorem otwartym, to ''S'' jest podzbiorem ''F'' wtedy i tylko wtedy, gdy ''S'' jest podzbiorem int(''F'').
Wnętrze zbioru zależy od [[Przestrzeń topologiczna|topologii]] – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to jeden i ten sam zbiór punktów może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej już nie.
 
Zauważmy też, że w [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] punkt ''p'' zbioru ''F'' jest puntktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje [[kula]] o środku w punkcie ''p'' całkowicie zawarta w zbiorze ''F''.
== Operacja wnętrza a topologia ==
Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek int(''X'')=''X'', gdzie ''X'' oznacza całą [[przestrzeń]], to może ona posłużyć do zdefiniowania [[Przestrzeń topologiczna#Określenie_operacji_wnętrzaOkreślenie operacji wnętrza|topologii]] w zbiorze ''X''.
 
== Przykłady ==
*W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
*W [[przestrzeń topologiczna dyskretna|przestrzeni dyskretnej]] każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
21 135

edycji