Wikipedia

Wzór Eulera-Maclaurina: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
następna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
tekst źródłowy
 
przerwa na herbatę
Linia 1:
W [[matematyka | matematyce]], '''wzór Eulera-Maclaurina''' daje silne połączenie między liczbami całkowitymi (zobacz [[calculus]]) a sumami. Może być użyty do przybliżania liczb całkowitych przez skończone sumy lub odwrotnie; do oszacowywania skończonych sum i nieskończonych serii liczbami całkowitymi i operacjami liczbowymi. Wzór został odkryty niezależnie przez[[Leonhard Euler | Leonharda Eulera]] i [[Colin Maclaurin | Colina Maclaurina]] około [[1735]]. Euler potrzebował go do obliczenia wolno zbiegających nieskończonych serii podczas gdy Maclaurin wykorzystał go do obliczania liczb całkowitych.
In [[mathematics]], the '''Euler-Maclaurin formula''' provides a powerful connection
between integrals (see [[calculus]]) and sums. It can be used to approximate
integrals by finite sums, or conversely to evaluate finite sums and infinite series using integrals and the machinery of calculus. The formula was
discovered independently by [[Leonhard Euler]] and [[Colin Maclaurin]]
around [[1735]]. Euler needed it to compute slowly converging infinite series while Maclaurin used it to calculate integrals.
 
IfJeśli ''n'' is ajest [[naturalliczba naturalna |liczbą numbernaturalną]] andi ''f''(''x'') isjest a smoothgładką (meaning:tzn. sufficientlywystarczająco oftenczęsto [[derivativeróżniczkowalność|differentiableróżniczkowalną]]) [[functionfunkcja (mathematicsmatematyka)|functionfunkcją]] definedzdefiniowaną fordla allwszystkich [[realliczba numberrzeczywista|liczb rzeczyswistych]]s ''x'' betweenpomiędzy 0 andi ''n'', then thewtedy integralcałka
 
:<math>I=\int_0^n f(x)\,dx</math>
 
może być przybliżona przez sumę
can be approximated by the sum
 
:<math>
Linia 15 ⟶ 11:
\frac{f\left( n\right) }{2}
</math>
We can use two expressions for <math>S</math> :
 
Możemy użyć dwóch wyrażeń dla <math>S</math> :
:<math>S=-\frac{f\left( 0\right) +f\left( n\right) }{2}+\sum_{k=0}^{n}f\left(
n\right) </math>
lub
or
:<math>S=\frac{f\left( 0\right) +f\left( n\right) }{2}+\sum_{k=1}^{n-1}f\left(
n\right) </math>
(zobacz [[reguła trapezoidu |regułę trapezoidu]]). '''Wzór Eulera-Maclaurina pozwala wyrażać różnicę pomiędzy sumą a liczbą całkowitą w postaci wyższych pochodnych ''f''<sup>(''k'')</sup> w końcowych punktach przedziału 0 i ''n''. Dla każdej liczby naturalnej ''p'' mamy
 
(see [[trapezoidal rule]]). The Euler-Maclaurin formula provides expressions for the difference between the sum and the integral in terms of the higher derivatives ''f''<sup>(''k'')</sup> at the end points of the interval 0 and ''n''. For any natural number ''p'', we have
 
:<math>S-I=\sum_{k=1}^p\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R</math>
 
where, ''B''<sub>2</sub> = 1/6, ''B''<sub>4</sub> = &minus;1/30, ''B''<sub>6</sub> = 1/42, ''B''<sub>8</sub> = &minus;1/30, ... are the [[Bernoulli numbers]].▼
 
▲where,gdzie ''B''<sub>2</sub> = 1/6, ''B''<sub>4</sub> = &minus;1/30, ''B''<sub>6</sub> = 1/42, ''B''<sub>8</sub> = &minus;1/30, ... are thesą [[Bernoulliliczby Bernoulliego|liczbami numbersBernoulliego]].
''R'' is an error term which is normally small if ''p'' is large enough and can be estimated as
 
''R'' jest wartością błędu, który zwykle jest mały jeśli ''p'' jest odpowiednio duże i może być oszacowany jako
 
:<math>\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2p}}\int_0^n\left|f^{(2p+1)}(x)\right|\,dx.</math>
 
Linia 39 ⟶ 36:
With the function ''f''(''x'') = log(''x''), the Euler-Maclaurin formula can be used to derive precise error estimates for [[Stirling's approximation]] of the [[factorial]] function.
 
==ExternalLinki linkszewnętrzne==
 
*[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/bernoulli.html Bernoulli numbers, polynomials and applications of the Euler-Maclaurin formula]
 
[[Kategoria:Analiza matematyczna]][[Kategoria:Analiza asymptotyczna]]
[[Category:Mathematical analysis]][[Category:Asymptotic analysis]]
 
[[it:Formula di Euler - Maclaurin]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Wzór_Eulera-Maclaurina”