Algebra Banacha: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 489 bajtów ,  14 lat temu
m
drobne redakcyjne
m (drobne redakcyjne)
'''Algebra Banacha''' - w [[analiza funkcjonalna|analizie funkcjonalnej]], [[K-algebra|algebra]] [[przestrzeń unormowana|unormowana]] nad [[ciało (matematyka)K-algebra|algebra nad ciałem]] [[liczby zespolone|liczb zespolonych]], w której [[przestrzeń metryczna|metryka]] dyktowana przez normę jest [[przestrzeń zupełna|zupełna]]. AlgebrySwoją tegonazwę rodzajuzawdzięczają byłypolskiemu badane przez polskiego matematyka[[matematyk]]owi, [[Stefan Banach|StefanaStefanowi BanachaBanachowi]], który badał je jako pierwszy.
 
==Algebra zespolona==
'''Algebrą''' nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] liczb zespolonych (inaczej '''<math>\mathbb{ C}</math>-algebrą''' lub '''algebrą zespoloną)''') nazywamy przestrzeń unormowaną <math>A</math>, z określonym [[działaniełączność (matematyka)|łącznym]]m <math>A\nii x,y\mapstoobustronnie xy\in[[rozdzielność|rozdzielnym]] A</math>,względem spełniającym[[skalar]]ów dla[[działanie dowolnychdwuargumentowe|działaniem <math>\alpha, \beta\in \mathbb{C}, x,y,z\in A</math> następujące warunki:dwuargumentowym]]
:<math>A \times A \ni (x,y) \mapsto xy \in A</math>,
czyli takim które dla dowolnych <math>\alpha, \beta \in \mathbb C,\; x, y, z \in A</math> spełnia warunki:
:<math>(\alpha\cdot x + \beta\cdot y)z = \alpha\cdot xz + \beta\cdot yz</math>,
:<math>x(\alpha\cdot y+\beta\cdot z) = \alpha\cdot xy + \beta\cdot xz</math>,
:<math>x(yz) = (xy)z</math>.
 
Jeżeli dodatkowo działanie jest [[przemienność|przemienne]], <math>\forall_{x, y \in A}\; xy=yx</math>, to <math>A</math> nazywamy '''algebrą przemienną'''. Algebra zespolona może nie mieć [[element neutralny|jedynki]]. Skrajnym przykładem jest dowolna [[przestrzeń liniowa]] <math>A</math> z określonym działaniem mnożenia <math>x\cdotxy y= 0</math> dla wszelkich <math>x, y \in A</math><ref>Jeśli <math>A</math> jest [[przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]], to <math>A</math> jest przykładem algebry Banacha, w której jedność nie może być aproksymowana, jak pokazano w przykładzie 3.</ref>.
'''Algebrą''' nad ciałem liczb zespolonych (inaczej '''<math>\mathbb{C}</math>-algebrą''' lub '''algebrą zespoloną''') nazywamy przestrzeń unormowaną <math>A</math>, z określonym [[działanie]]m <math>A\ni x,y\mapsto xy\in A</math>, spełniającym dla dowolnych <math>\alpha, \beta\in \mathbb{C}, x,y,z\in A</math> następujące warunki:
:<math>(\alpha\cdot x+\beta\cdot y)z=\alpha\cdot xz+\beta\cdot yz</math>,
:<math>x(\alpha\cdot y+\beta\cdot z)=\alpha\cdot xy+\beta\cdot xz</math>,
:<math>x(yz)=(xy)z</math>.
 
==Definicja==
Jeżeli <math>xy=yx</math> to <math>A</math> nazywamy '''algebrą przemienną'''.
Algebrę zespoloną <math>A</math> nazywamy '''unormowaną''', jeśli <math>(A, \|\cdot\|)</math> jest przestrzenią unormowaną, której norma jest podmultyplikatywna, tj. dla dowolnych <math>x, y\in A</math>:
 
:<math>\|xy\| \leqslant \|x\| \|y\|</math>. Jeżeli ponadto norma ta jest zupełna, tj. metryka przez nią dyktowana jest [[przestrzeń zupełna|zupełna]], to <math>A</math> nazywamy '''algebrą Banacha'''.
Algebra zespolona może nie mieć jedynki. Skrajnym przykładem jest dowolna przestrzeń liniowa <math>A</math> z określonym działaniem mnożenia <math>x\cdot y=0</math> dla wszelkich <math>x,y\in A</math><ref>Jeśli <math>A</math> jest przestrzenią Banacha, to <math>A</math> jest przykładem algebry Banacha w której jedność nie może być aproksymowana, jak w przykładzie 3.</ref>.
 
===Algebry unormowane i algebry Banacha===
Algebrę zespoloną <math>A</math> nazywamy '''unormowaną''' jeśli <math>(A, \|\cdot\|)</math> jest przestrzenią unormowaną, której norma jest podmultyplikatywna, tj. dla dowolnych <math>x,y\in A</math>:
:<math>\|xy\|\leqslant \|x\| \|y\|</math>. Jeżeli ponadto norma ta jest zupełna, tj. metryka przez nią dyktowana jest zupełna, to <math>A</math> nazywamy '''algebrą Banacha'''.
 
==Przykłady==
* Niech <math>E</math> będzie [[przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]] i niech <math>B(E)</math> oznacza algebrę wszystkich [[funkcja ograniczona|ograniczonych]] [[operator]]ów przestrzeni <math>E</math> ze [[złożenie funkcji|składnianiem]], jako działaniem mnożenia. <math>E</math> jest algebrą Banacha z jedynką oraz <math>\|\mathbf{ 1}\| = 1</math>.
* Niech <math>X</math> będzie [[przestrzeń zwarta|zwartą]] [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzenią Hausdorffa]] oraz niech <math>\mathcal C(X)</math> oznacza przestrzeń wszystkich [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] <math>f\colonX X\to \mathbb{ C}</math> z działaniami dodawania i mnożenia określonymi standardowopunktowo, tj. dla dowolnych funkcji <math>f, g \in \mathcal C</math> zachodzi
*:<math>(f + g)(x) = f(x) + g(x),\; x \in X</math>,
*:<math>(fg)(x) = f(x) g(x),\; x \in X</math>,
:z normą supremum. <math>\mathcal C(X)</math> jest algebrą Banacha z jedynką.
* Niech <math>\mathcal{ L}(\mathbb{ R})</math> oznacza przestrzeń Banacha funkcji całkowalnych [[całka Lebesgue'a|całkowalnych w sensie Lebesgue'a]] na prostej z działaniem mnożenia określonym przez [[Splotsplot funkcji|splot]], tj.
*:<math>(f\star * g)(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) g(x-t) dt,\; f,g\in \mathcal{ L}(\mathbb{ R})</math>.
:Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, że istnieje [[ciąg funkcji]] [[układ ortonormalny|ortonormalnych]] <math>\{e_n\colon\; n\in\mathbb{ N}\} \subset \mathcal{ L}(\mathbb{ R})</math>, spełniających warunek:
*:<math>\lim_{n \to \infty}~\|e_n\star * f - f\| = \lim_{n\to\infty}~\|f\star * e_n - f\| = 0</math>.
* Przykładem skończenie wymiarowejskończeniewymiarowej<ref>w sensie wymiaru przestrzeni unormowanej</ref> algebry Banacha jest [[Macierz#Przestrzeń macierzy|przestrzeń macierzy]] <math>\mathbb{ C}^n_n</math> z działaniem zwykłego mnożenia macierzy i normą np. daną wzorem
*:<math>\|(a_{ij})\|=\sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|</math>.
* [[Kwaterniony]] tworzą 4-wymiarową algebrąalgebrę Banacha z normą modułudaną kwaternionuprzez ich [[kwateniony#Sprzężenie, wyznacznik, moduł|moduł]].
* Każda [[C*-algebra]] jest algebrą Banacha.
* Niech <math>G</math> będzie [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartą]], [[grupaprzestrzeń topologicznaHausdorffa|grupą topologicznąhausdorffowską]] o własności [[przestrzeńgrupa Hausdorffatopologiczna|T<sub>2</sub>grupą topologiczną]] oraz <math>\mu</math> określoną na niej [[miara Haara|miarą Haara]]. Przestrzeń <math>\mathcal{ L}(G)</math> funkcji <math>\mu</math>-całkowalnych na <math>G</math> z działaniem mnożenia, określonym jak niżej, jest algebrą Banacha.
*:<math>(xy)(g) = \int\limits_G x(h) y(h^{-1}g) d\mu(h)</math> dla <math>x, y \in \mathcal{ L}(G)</math>
 
==Źródła==
 
[[Kategoria:Analiza funkcjonalna]]
 
[[de:Banachalgebra]]
[[fr:Algèbre de Banach]]
12 935

edycji