Orientacja (matematyka)

Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy że, nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.

Przestrzeń liniowa

Niech $X$ będzie $n$-wymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową, zaś układy wektorów $a_{1},\dots ,a_{n}$ oraz $b_{1},\dots ,b_{n}$ jej bazami algebraicznymi. Macierz przejścia $P_{ab}$ od bazy $\{a_{i}\}$ do $\{b_{i}\}$ jest nieosobliwa. Oczywiście macierzą przejścia $P_{ba}$ od bazy $\{b_{i}\}$ do $\{a_{i}\}$ jest macierz do niej odwrotna. Obie te macierze posiadają wyznacznik tego samego znaku.

Bazy $\{a_{i}\},\{b_{i}\}$ przestrzeni $X$ są zgodnie zorientowane, jeżeli wyznacznik macierzy przejścia $P_{ab}$ jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są 'przeciwnie zorientowane. Relacja zgodnej zorientowania między bazami przestrzeni $X$ jest relacją równoważności, zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na klasy abstrakcji nazywane orientacjami tej przestrzeni. Jeżeli $\{a_{i}\}$ jest ustaloną bazą $X$, to każda baza jest zorientowana zgodnie z nią lub z bazą $-a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$. Jeżeli $\tau$ jest orientacją $X$, to jej drugą orientację nazywamy przeciwną względem $\tau$ i oznaczamy $-\tau$.

Parę $(X,\tau )$, czyli przestrzeń liniową $X$ wraz z ustaloną jej orientacją $\tau$ nazywa się przestrzenią zorientowaną. Orientację przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ wyznaczoną przez jej bazę kanoniczną określa się jako orientację dodatnią, zaś przeciwną względem niej – orientacją ujemną.

Rozmaitość

Bibliografia

• A. Birkolc Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki