Specjalna grupa unitarna

Specjalna grupa unitarna stopnia oznaczana symbolem jest grupą Liego specjalnych macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1. (Macierze unitarne mają w ogólności wyznacznik zespolony postaci czyli liczbę o module 1).

Istnieją różne reprezentacje danej grupy tworzone przez specjalne macierze unitarne tego samego wymiaru. Przy czym:

(1) Reprezentacja fundamentalna grupy składa się z macierzy wymiaru

(2) Inne reprezentacje grupy składają się z macierzy kwadratowych wymiaru mniejszego lub większego niż jednakże ich generatory muszą spełniać te same relacje komutacyjne, jak generatory reprezentacji fundamentalnej (dokładniej objaśniono to dalej).

Działaniem w grupie macierzy (dla danej reprezentacji) jest mnożenie macierzy przez siebie, elementem neutralnym mnożenia jest macierz jednostkowa (dla reprezentacji fundamentalnej jest to macierz ). Liczba parametrów opisująca macierze grupy – niezależnie od reprezentacji – wynosi Każdą specjalną macierz unitarną grupy dowolnego wymiaru można bowiem przedstawić za pomocą eksponenty zależnej od najwyżej parametrów

gdzie:

jest wymiarowym wektorem parametrów rzeczywistych,
jest wektorem liniowo niezależnych macierzy hermitowskich o śladzie równym zeru; macierze nazywa się generatorami grupy

przy czym wymiar generatorow macierzy wymiaru jest także równy

Grupę definiują związki komutacji (omówiono to dalej), jakie istnieją pomiędzy generatorami jej reprezentacji fundamentalnej. Przy tym związki komutacyjne np. dla grupy są inne niż dla itd. Generatory reprezentacji fundamentalnej danej grupy są macierzami wymiaru (dla innych reprezentacji generatory są macierzami o mniejszym lub większym wymiarze niż ). Ponadto, istnieje wiele możliwych wyborów generatorów dla każdej reprezentacji, dlatego zwykle dodatkowo przyjmuje się warunek normalizacji, określający ślady kwadratów generatorów:

Generatory algebry Liego su(n) grupy SU(n)Edytuj

Liczba generatorówEdytuj

Każda specjalna macierz unitarna   wymiaru   może być przedstawiona w postaci

 

gdzie:

 macierz hermitowska wymiaru   bezśladowa (tzn. jej ślad jest równy 0),
  – jednostka urojona.

Ponadto, każdą macierz hermitowską bezśladową wymiaru   można wyrazić za pomocą   liniowo niezależnych, bezśladowych macierzy hermitowskich   wymiaru   tj.

 

gdzie   nazwa się generatorami; generatory tworzą bazę algebry Liego  

Dlaczego generatory są bezśladoweEdytuj

Macierze unitarne   mają wyznacznik równy 1, co implikuje, że macierze   muszą być bezśladowe, gdyż:

  

co implikuje  

Związki komutacji. Stałe strukturyEdytuj

Generatory są na ogół nieprzemienne – wyniki ich mnożenia tworzą tzw. reguły komutacji, tj. dla liczb   komutatory są w postaci kombinacji liniowych

 

gdzie:

  – komutator,
  – tzw. stałe struktury grupy.

Relacje komutacji (lub równoważnie: stałe struktury) definiują algebrę Liego   danej grupy  

Wybór generatorów nie jest unikalny; np. z danego zbioru generatorów można otrzymać inny zbiór generatorów za pomocą transformacji podobieństwa, ponieważ transformacja ta nie zmienia komutatorów.

Przy czym macierz   nazywa się podobną do macierzy   jeżeli

 

gdzie   jest macierz unitarną, zaś   jest jej sprzężeniem hermitowskim.

Ponadto, te same reguły komutacji mogą spełniać macierze innego wymiaru niż dany wymiar   Macierze te są generatorami reprezentacji niefundamentalnych tej samej grupy  

Reprezentacja fundamentalna grupyEdytuj

Grupę   definiuje więc

  • postać generatorów reprezentacji fundamentalnej (zwanej także definiującą), tj. postać generatorów reprezentowanych przez macierze wymiaru   albo
  • wartości numeryczne stałych struktury  

Są to metody równoważne: znając jawną postać generatorów reprezentacji fundamentalnej można wyliczyć stałe struktury i odwrotnie, znając stałe struktury można obliczyć jawną postać generatorów nie tylko w reprezentacji fundamentalnej, ale w dowolnej reprezentacji grupy  

Inne reprezentacje grupy SU(n)Edytuj

Inne reprezentacje grupy   otrzymuje się za pomocą generatorów, które są macierzami wymiaru innego niż   tj. wymiaru   przy czym warunkiem jest, by generatory spełniały te same warunki komutacyjne co generatory reprezentacji fundamentalnej.

Np. grupa   ma reprezentację fundamentalną zadaną przez macierze   (macierze Pauliego, które mnożone przez   definiują operatory spinu o liczbie spinowej  ), jednak innymi reprezentacjami tej samej grupy są macierze wymiaru   odpowiadające liczbom spinowym   itd.

Grupa SU(n) jako podgrupa. IzomorfizmyEdytuj

Specjalna grupa unitarna jest podgrupą grupy macierzy unitarnych   które zachowują iloczyn skalarny, definiowany w przestrzeniach zespolonych   Grupa   jest z kolei podgrupą ogólnej grupy transformacji liniowych   określonej nad ciałem liczb zespolonych.

Grupa   jest izomorficzna z grupą kwaternionów o normie 1 i dlatego dyfeomorficzna do 3-sfery. Ponieważ jednostkowe kwaterniony mogą reprezentować obroty w przestrzeni 3-wymiarowej (z dokładnością do znaku), to istnieje homeomorfizm z   do grupy obrotów   którego jądro jest   Grupa   jest także identyczna z grupą symetrii spinorów  

Zastosowania grup SU(n)Edytuj

Grupy   znalazły zastosowanie w sformułowaniu Modelu Standardowego cząstek elementarnych:

Topologia grupy SU(n)Edytuj

Specjalna grupa unitarna   jest rzeczywistą grupą Liego, tj. jest grupą ciągłą i rozmaitością różniczkową o wartościach rzeczywistych, mającą wymiar   Topologicznie jest to rozmaitość zwarta.

Grupa SU(1)Edytuj

Grupa   przedstawia grupę trywialną, posiadającą jeden element – jest nim macierz jednostkowa  

Grupa SU(2)Edytuj

Omawia to osobny artykuł Grupa SU(2).

Grupa SU(3)Edytuj

TopologiaEdytuj

Grupa   jest rozmaitość różniczkową wymiaru 8, jednospójną i zwartą; jako grupa jest grupą Liego.

Generatory algebry Liego su(3) reprezentacji fundamentalnejEdytuj

Algebra Liego   związana z grupą Liego   posiada   generatorów   Dla reprezentacji fundamentalnej generatory te mają postacie

 

gdzie   są macierzami Gell-Mann’a (będącymi analogami macierzy Pauliego):

 

Macierze te rozpinają przestrzeń macierzy hermitowskich bezśladowych, która jest algebrą Liego su(3). Macierze   mają elementy urojone.

Reguły komutacyjne/antykomutacyjneEdytuj

Powyższe generatory   implikują

a) reguły komutacyjne

 

b) reguły antykomutacyjne

 

lub równoważnie

 

Stałe strukturyEdytuj

Ze związków komutacyjnych wynika, że stałe struktury   algebry  zupełnie antysymetryczne, tzn. zmieniają znak przy przestawieniu dowolnych dwóch indeksów i mają wartości:

 
 
 

Pozostałe stałe o indeksach nie należących do powyższych permutacji zerują się. W ogólności stałe te zerują się, gdy zawierają nieparzystą liczbę indeksów ze zbioru {2, 5, 7}.

Symetryczne stałeEdytuj

Ze związków antykomutacyjnych wynika, że stałe   są symetryczne ze względu na przestawienie dowolnych wskaźników i mają wartości:

 
 
 

Stałe zerują się, gdy liczba indeksów ze zbioru {2, 5, 7} jest nieparzysta.

Ślad kwadratów macierzy Gell-MannaEdytuj

Ślad kwadratów macierzy Gell-Manna wynosi 2, tj.

 

gdzie   - delta Kronekera. Jest tak dlatego, że macierze Pauliego są „wbudowane” w macierze Gell Manna (możliwa byłaby normalizacja śladu do 1).

Normowanie generatorówEdytuj

Stąd wynika, że generatory są unormowane tak, że

 

Dowód (korzystamy z własności śladu):

 

Podalgebry algebry su(3)Edytuj

Istnieją trzy podalgebry su(2) algebry su(3)

  •  
  •   oraz
  •  

Operatory Casimira – niezmienniki algebry su(3)Edytuj

Suma kwadratów macierzy Gell Manna jest tzw. operatorem Casimira, który jest jednym z niezmienników algebry su(3)

 

gdzie   jest macierzą jednostkową 3×3.

Analogicznie definiuje się sześcienny operator Casimira, który też jest niezmiennikiem grupy.

Generowanie ogólnego elementuEdytuj

Ogólny element grupy SU(3) generowany przez bezśladową macierz hermitowską   wymiaru 3×3, taką że   można wyrazić za pomocą wielomianu 2-go rzędu macierzy  

 

gdzie:

 

Zastosowania w chromodynamice kwantowejEdytuj

Macierz Gell-Manna służą do opisu symetrii kolorowej pola gluonowego, które powstaje z cechowania pola kwarkowego. Faza   pola gluonowego   musi mieć lokalną symetrię czasoprzestrzenną opisaną grupą SU(3), gdzie  

Reprezentacja grupy. Reprezentacje wierneEdytuj

Grupa jest abstrakcyjnym zbiorem obiektów o określonych własnościach. Reprezentacją macierzową grupy   nazywa się przekształcenie zachowujące strukturę grupową, czyli homomorfizm grupy w zbiór macierzy kwadratowych   takie, że

 

gdzie   oznacza działanie grupowe, a kropka mnożenie macierzy.

A więc zbiór macierzy   tworzy grupę.

Reprezentację grupy G nazywa się wierną i równoważną, kiedy przekształcenie elementów grupy w zbiór macierzy jest izomorfizmem, czyli przekształceniem wzajemnie jednoznacznym. Wówczas reprezentacja ma następujące własności:

 
 

to znaczy:

  • element neutralny grupy przechodzi w macierz jednostkową,
  • element odwrotny do   jest reprezentowany przez macierz odwrotną do  

Zobacz teżEdytuj

Grupy transformacji

Pojęcia powiązane

BibliografiaEdytuj

  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, ​ISBN 978-0471569527​.
  • David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press 2008.
  • Thanu Padmanabhan, Quantum Field Theory: The Why, What and How, Springer, Heidelberg 2016.

Linki zewnętrzneEdytuj