Splot (analiza matematyczna)

działanie określone dla dwóch funkcji
Ten artykuł dotyczy działania na funkcjach. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Splot, splot całkowy, mnożenie splotowe lub konwolucja[a]działanie określone dla dwóch funkcji (lub opisywanych przez nie sygnałów) dające w wyniku inną, która może być postrzegana jako zmodyfikowana wersja oryginalnych funkcji. Nazwą tą określa się również wynik tego działania, które bywa nazywane także iloczynem (lub produktem) splotowym. Splot podobny jest do korelacji wzajemnej.

Znajduje zastosowania także m.in. w statystyce, równaniach różniczkowych, elektrotechnice, cyfrowym przetwarzaniu obrazów czy sygnałów – na przykład, w przetwarzaniu obrazów operacja splotu obrazu źródłowego z odpowiednio skonstruowanym filtrem pozwala na wykrycie krawędzi (np. filtr Sobela), rozmycie obrazu (np. filtr Gaussa) oraz pozwala na ekstrakcję cech kształtów przy rozpoznawaniu wzorców obiektów w obrazie (falki Gabora), jak i wielu innych.

Operacja odwrotna do splotu nazywana jest rozplotem.

Istnienie i określenieEdytuj

Niech   i   są bezwzględnie całkowalne w przedziale   innymi słowy, są całkowalne w sensie Lebesgue’a, czyli należą do przestrzeni  

Wówczas

 

określa funkcję   zdefiniowaną dla prawie wszystkich liczb rzeczywistych   Funkcję   nazywa się splotem (dwustronnym) funkcji   z funkcją   i na mocy twierdzenia Fubiniego utożsamia się z elementem przestrzeni  

W zastosowaniach często ogranicza się do założenia o zbieżności całek niewłaściwych Riemanna na całej prostej tych funkcji oraz ich modułów.

 
Splot bramki napięcia   (jako sygnału wejściowego) i odpowiedzi impulsowej   obwodu RC, obliczony dla uzyskania przebiegu sygnału wyjściowego   Całka iloczynu jest zaznaczona obszarem żółtym. W obu animacjach wynik splotu jest taki sam.

Struktura algebry BanachaEdytuj

Przestrzeń   z dodatkowym działaniem splotu jest algebrą przemienną, tzn. splot jest działaniem:

  (wynika to z możliwości zastosowania podstawienia  ),
 
 
  • łącznym względem mnożenia przez skalary
 

gdzie   oraz   jest skalarem.

Dla normy splotu funkcji   z funkcją   zachodzi oszacowanie

 

a więc algebra   jest przemienną algebrą Banacha bez jedynki. Jedynkę można aproksymować w następującym sensie: jeśli   jest elementem przestrzeni   to istnieje taki ciąg   elementów   o normie 1, że

 
 

Lokalnie zwarte grupy topologiczneEdytuj

Definicja splotu funkcji przenosi się mutatis mutandis na przypadek lokalnie zwartej grupy topologicznej   z lewostronnie niezmienniczą miarą Haara   Dokładniej, jeżeli   i   są elementami   to wzór

 

określa funkcję zdefiniowaną dla prawie każdego elementu   grupy   Podobnie jak w przypadku miary Lebesgue’a (która jest miarą Haara grupy addytywnej zbioru liczb rzeczywistych) przestrzeń   tworzy z działaniem splotu algebrę Banacha, która jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy grupa   jest przemienna.

Splot cykliczny (kołowy)Edytuj

 
Splot okresowej bramki napięcia   (jako sygnału wejściowego) i odpowiedzi impulsowej h(t) obwodu RC, obliczony dla uzyskania przebiegu sygnału wyjściowego   Całka iloczynu jest zaznaczona obszarem żółtym. W obu animacjach wynik splotu jest taki sam.

Dla funkcji okresowej   o okresie   splot z inną funkcją   jest także okresowy, i może być wyrażony za pomocą całki w skończonym przedziale:

 

gdzie   jest czasem początkowym,

 

    są sumą okresową zdefiniowaną jako:

 

Splot dyskretnyEdytuj

Zbiór liczb całkowitych   z dodawaniem jest lokalnie zwartą grupą topologiczną, gdy w   rozważana jest topologia dyskretna. Odpowiadającą miarą Haara jest w tym wypadku miara licząca na rodzinie wszystkich podzbiorów zbioru liczb całkowitych. Splot ciągów sumowalnych (numerowanych liczbami całkowitymi) wyraża się więc wzorem

 

i pokrywa z iloczynem Cauchy’ego szeregów (zapis   jest popularny w technice i oznacza  -ty wyraz ciągu (sygnału)  ). W zastosowaniach, dopuszcza się splatanie ciągów skończonych, które utożsamia się z ciągami nieskończonymi, które mają pozostałe wyrazy równe 0.

Realizacja splotu dla sygnałów jednowymiarowych (dźwięk, sygnały EEG itp.)Edytuj

Niech   oraz   będą sygnałami wejściowymi (w ujęciu programistycznym mogą to być tablice, wektory lub inne rodzaje kontenerów). Splot

 

określa sygnał wyjściowy     można interpretować jako  -tą próbkę pozyskaną z sygnału wejściowego  

Bardzo często dwa sygnały wejściowe, na których realizuje się splot, klasyfikuje się jako sygnał podstawowy (przetwarzany) oraz sygnał przetwarzający (filtr). W sygnałach jedno-wymiarowych występują filtry dolno-, górno-, pasmowo- przepustowe lub zaporowe.

Realizacja splotu dla sygnałów dwuwymiarowych (np. obrazów itd.)Edytuj

W przypadku sygnałów dwuwymiarowych położenie jest określone przez dwie zmienne   i   (elementy  ), których splot   wyraża się wzorem

 

Splot jest w tym przypadku prostym wymnożeniem wartości z obu sygnałów wejściowych, a następnie ich zsumowanie. Praktyczną realizację przedstawia rysunek:

 
Dyskretny splot dwóch macierzy

W celu obliczenia splotu sygnałów w tym przypadku, wykonane są działania:

  •  
  •  
  •   itd.

Wartości pod indeksami w praktyce mogą być, na przykład, wartościami kolorów dla danych pikseli obrazu.

Problem brzeguEdytuj

W realizacji splotu zastosowanej powyżej założono, iż wartości poza sygnałem są równe 0. Stąd brak wymnożeń z elementami spoza zakresu. Problem ten występuje tylko na „krawędziach” sygnałów i często jest identyfikowany jako tzw. problem brzegu. Przy dużych sygnałach ma on przeważnie małe znaczenie dla wyniku splotu. Podejście stosowane do rozwiązania problemu zależy często od specyfiki sygnałów oraz od celu w jakim dokonywana jest operacja splotu.

Przykładowe metody rozwiązania problemu brzegu:

  • przyjęcie założenia, że poza znanym sygnałem są wyłącznie wartości 0 – rozwiązanie to zastosowano w przedstawionym przykładzie,
  • odbicie obrazu poza jego granicami,
  • powtórzenie obrazu, bez odbicia,
  • powielenie brzegowych wartości,
  • modyfikacji maski filtru na brzegu sygnału (obrazu) tak by maska nie wychodziła poza obraz.

Splot jednostronnyEdytuj

W tym paragrafie będziemy zakładać bezwzględną całkowalność funkcji   i   w każdym przedziale postaci   dla   Splot jednostronny określa się jako funkcję   zmiennej   wzorem

 

Podobnie jak w przypadku splotu dwustronnego, powyższy wzór ma sens dla prawie wszystkich   Splot jest funkcją prawie wszędzie ciągłą w przedziale   Ponadto o ile tylko jedna z funkcji   jest ograniczona na każdym przedziale postaci     to splot   jest określony wszędzie oraz jest ciągły w każdym punkcie, a także

 

Wynika stąd w szczególności, że splot jest ciągły gdy chociaż jedna z funkcji   jest ciągła. Prawdziwe jest także, następujące twierdzenie Titchmarsha, mówiące, że splot jest funkcją zerową wtedy i tylko wtedy, gdy chociaż jedna z funkcji   jest funkcją zerową prawie wszędzie. Twierdzenie to nie jest prawdziwe dla splotów w  

Działanie splotu jest operatorem liniowym ze względu na obydwa argumenty, tzn. jest operatorem dwuliniowym.

Zbiór funkcji ciągłych, o wartościach zespolonych lub rzeczywistych, określonych na przedziale   z działaniami dodawania i splatania tworzy pierścień przemienny bez jedynki. Pierścień ten nazywany jest pierścieniem Mikusińskiego.

Całka DuhamelaEdytuj

Pochodna splotu dwóch funkcji   i   tj.

 

nazywana jest całką Duhamela. Jeśli   jest dla   funkcją ciągłą, a   dla   funkcją różniczkowalną, to zgodnie z twierdzeniem Leibniza o różniczkowaniu całki, jako funkcji parametru wynika, że

 

Jeśli obydwie funkcje   mają ciągłe pochodne w przedziale   to

 

Związki z transformatamiEdytuj

Jeśli funkcje  bezwzględnie transformowalne (w sensie Laplace’a) oraz chociaż jedna z nich jest ograniczona w każdym przedziale   dla   to

 

Powyższe twierdzenie nazywane jest często twierdzeniem Abela. Założenie ograniczoności przynajmniej jednej z funkcji   można zastąpić innym, gwarantującym istnienie splotu   dla każdego   W szczególności, twierdzenie jest prawdziwe, gdy przynajmniej jedna z tych funkcji jest ciągła.

Podobnie dla transformaty Fouriera zachodzi twierdzenie

 

Jedną z operacji, którą można wyrazić jako splot skończony jest mnożenie dwóch liczb w reprezentacji pozycyjnej. Innym zastosowaniem są filtry cyfrowe. W celu przyśpieszenia obliczeń dla dużych ciągów, często używa się twierdzenia o transformacie Fouriera splotu, co umożliwia implementację splotu o złożoności obliczeniowej rzędu   w porównaniu do zwyczajowej   wykorzystując dwie szybkie transformacje Fouriera, a następnie jedną szybką transformację odwrotną Fouriera.

Splot miarEdytuj

Naturalny odpowiednik splotu funkcji liczbowych definiuje się dla miar borelowskich. Dokładniej, jeśli   są miarami borelowskimi na prostej, to funkcję

 

nazywamy splotem miar   i  

Okazuje się, że jeżeli   i   są niezależnymi zmiennymi losowymi na pewnej przestrzeni probabilistycznej o rozkładach odpowiednio   i   to   jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej  

Jeżeli dodatkowo, jedna z tych zmiennych ma rozkład ciągły – np. funkcja   jest gęstością zmiennej   to zmienna   ma rozkład ciągły o gęstości

 

którą nazywamy splotem gęstości z miarą (w tym wypadku probabilistyczną).

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. ang. convolution: od convolute, „skręcać, zwijać”; z łac. convolutus, im. od convolvere, od com-, „z, razem; całkowicie, gruntownie, dokładnie” i volvere, „zawijać”.

BibliografiaEdytuj

  • Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. II. Warszawa: PWN, 1966.
  • Bolesław Gleichgewicht: Elementy algebry abstrakcyjnej. Warszawa: PZWS, 1966.
  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 103.
  • Jerzy Osiowski: Zarys rachunku operatorowego. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1965.
  • Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998, s. 158–160.
  • Tomasz P. Zieliński: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: od teorii do zastosowań. Wyd. II popr.. Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2007. ISBN 978-83-206-1640-8.

Linki zewnętrzneEdytuj