Otwórz menu główne

Sprzężenie zespolonejednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Przykładowo

DefinicjaEdytuj

Sprzężeniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej   gdzie   jest liczba   nazywana liczbą sprzężoną do   i oznaczana zwykle symbolem   W fizyce oraz naukach technicznych stosuje się również zapis  

W postaci biegunowej sprzężenie liczby   dane jest przez   Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru Eulera.

UwagiEdytuj

 
Geometryczna reprezentacja   i jego sprzężenia   na płaszczyźnie zespolonej.

Liczby zespolone przedstawiane są często jako punkty płaszczyzny w układzie współrzędnych kartezjańskich (por. diagram). Oś  -ów zawiera liczby rzeczywiste, zaś oś  -ów zawiera wielokrotności liczby   Przy takiej interpretacji sprzężenie zespolone odpowiada symetrii względem osi  

Pary liczb sprzężonych są warte uwagi, ponieważ jednostka urojona   jest jakościowo różna od swojej odwrotności addytywnej i multiplikatywnej   jako że obie z nich spełniają definicję jednostki urojonej:   dla   Dlatego w najbardziej „naturalnych” okolicznościach, jeżeli liczba zespolona daje rozwiązanie problemu, to daje je również jej sprzężenie, jak to jest w przypadku rozwiązań zespolonych równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych.

Sprzężenie zespolone jest jedynym oprócz identyczności ciągłym automorfizmem ciała liczb zespolonych, a przy tym działanie to jest inwolucją, czyli   Zachowuje ono moduł oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.

WłasnościEdytuj

Niech   będą liczbami zespolonymi, a   będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas

  •  
  • Liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:
     
  • Liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:
     
  • Moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:
     
  • Jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:
     
  • Suma danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:
     
  • Iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:
      stąd też  
  • Jeżeli   czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:
     
  • Jeśli   jest pierwiastkiem danego wielomianu rzeczywistego, to   też nim jest.

Macierz sprzężonaEdytuj

Osobny artykuł: macierz sprzężona.

Macierz sprzężona (trywialnie) do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:

 

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.

PrzykładEdytuj

 

UogólnieniaEdytuj

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu   jest kwaternion   Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele   można określić je wzorem   a także na liczby dualne. Sprzęgać można również dwumiany. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.

Zobacz teżEdytuj