Stan układu – jedno z pojęć w teorii układów dynamicznych i teorii sterowania.

Stan układu a wejścia i wyjścia układu edytuj

Pytając o stan danego układu (obiektu), żąda się ścisłej informacji ilościowej, umożliwiającej określenie co dzieje się z układem w danej chwili (nawet jeśli nie jest on poddany żadnym oddziaływaniom zewnętrznym) i jak może się on zachowywać w najbliższej przyszłości. Stan charakteryzuje układ odznaczający się pewnego rodzaju pamięcią, tzn. stan zawiera informację zakumulowaną z całej przeszłości układu, aż do danej chwili, i nie może ulegać nagłym, skokowym zmianom. W wypadku większości układów (poza najprostszymi) wyjście układu   w chwili   zależy nie tylko od wejścia układu   w chwili   ale także od przeszłych wejść układu (we wszystkich chwilach   gdzie  ). Całkowity wpływ na układ minionych wartości wejść jest reprezentowany przez pojęcie stanu wewnętrznego układu. Dzięki wprowadzeniu tego pojęcia upraszcza się analizę układu, bowiem by wyznaczyć wyjście układu   w chwili   wystarczy znać tylko dwie wielkości: wejścia układu   w chwili bieżącej oraz stan układu   w tej samej chwili.

Zmienne stanu edytuj

Stan układu jest jego zmienną wewnętrzną, gdyż można go określić tylko pośrednio. Zmienne stanu są związane z istnieniem elementów magazynujących (na przykład energię potencjalną czy kinetyczną, jak sprężyna albo kondensator), więc ich liczba jest równa liczbie niezależnych elementów magazynujących. Elementy te zachowują się jak elementy całkujące (integratory). W ciągłych układach sterowania integratory służą jako urządzenia zapamiętujące, dlatego ich sygnały wyjściowe mogą być rozważane jako zmienne, które definiują wewnętrzny stan układu.

W układach dynamicznych można wyróżnić przynajmniej jedną zmienną stanu, natomiast w układach statycznych nie można określić ani jednej zmiennej stanu, ponieważ nie posiadają one elementów magazynujących, a jedynie elementy rozpraszające energię. Układy dynamiczne o nieskończonej liczbie zmiennych stanu nazywa się układami o parametrach rozłożonych.

Wybór zmiennych stanu jest w gruncie rzeczy arbitralny. Zbiór zmiennych stanu opisujący układ liniowy nie ma charakteru unikalnego – można wybrać inne zmienne i znaleźć transformację, która tak powstały zbiór łączy z poprzednim zbiorem (zobacz też: niejednoznaczność opisu równaniami stanu). Każdy taki zbiór będzie składał się ze składników liniowo niezależnych (zmienne stanu  liniowo niezależne, jeśli równanie   spełnione jest dla wszystkich   tylko, gdy każdy współczynnik  ).

Wektor stanu i przestrzeń stanów edytuj

Pojęcie wektora stanu jest uogólnieniem w stosunku do pojedynczej zmiennej stanu. Jeśli układ jest opisany tylko jedną zmienną stanu, to jej wartości są reprezentowane przez liczby skalarne (rzeczywiste). W przypadku większej liczby zmiennych stanu nie można określić konkretnego stanu za pomocą jednej liczby, lecz za pomocą zbioru liczb reprezentujących wartości poszczególnych zmiennych. Można to interpretować w taki sposób, że stan ma sens wektora określonego w przestrzeni stanów  -wymiarowej, jeśli istnieje   zmiennych stanu. Osiami (współrzędnymi) przestrzeni stanów są więc poszczególne współrzędne (zmienne) stanu, a każdy punkt przestrzeni stanów reprezentuje określony stan rozumiany jako zbiór wartości wszystkich zmiennych stanu układu. Można więc zapisać symbolicznie wektor stanu układu o   zmiennych stanu   jako   Liczba   zmiennych stanu określa wymiar wektora stanu, a zarazem rząd układu dynamicznego.

Macierz przejścia stanu edytuj

Stan układu przedstawiany jest zwykle jako wektor   i reprezentuje pamięć układu. Znając stan układu oraz sterowanie można określić stan, który osiągnie układ po zadanym czasie.

Dla układu regulacji opisanego układem równań różniczkowych przyjmuje on postać:

 

gdzie:

 składowa swobodna zależna od warunków początkowych,
 składowa wymuszona, która jest splotem odpowiedzi impulsowej i wejścia.