Stateczność konstrukcji

Stateczność konstrukcji i jej elementów – taka ich właściwość, która polega na zachowywaniu przez nie trwałej równowagi statycznej pod działaniem obciążenia zewnętrznego[1][2][3]. Elementy konstrukcji (pręty, tarcze, powłoki) tracą stateczność wtedy, kiedy ich obciążenia przekroczą tzw. wartości krytyczne[4][5]. Utrata stateczności elementu konstrukcji jest zazwyczaj równoznaczna z utratą stateczności całej konstrukcji. Zjawiskiem z tej dziedziny badanym najwcześniej przez Leonharda Eulera (jeszcze w wieku XVIII), było tzw. wyboczenie prętów ściskanych w kratownicach statycznie wyznaczalnych, mostów stalowych. Na skutek braku wiedzy z tej dziedziny, wystąpiło wiele katastrof mostów stalowych.

Konstrukcja zachowująca stateczność pod działaniem obciążenia zewnętrznego ma tę istotną właściwość, że wychylona z położenia trwałej równowagi statycznej wraca samorzutnie do tego samego położenia. Temu powrotowi zazwyczaj towarzyszą jej swobodne drgania tłumione o podstawowej (najniższej) częstości drgań własnych. Częstość ta maleje wraz ze wzrostem obciążenia i przybiera wartość zerową, gdy to obciążenie osiąga wartość krytyczną. Dotychczasowy, przedkrytyczny stan trwałej równowagi statycznej staje się chwiejny co powoduje, że pojawia się bardzo bliski, sąsiedni, pokrytyczny stan niestatecznej równowagi układu. Ten stan sąsiedni charakteryzuje się tym, że pojawiają się, szybko narastające, dodatkowe przemieszczenia jakościowo różne od dotychczasowych i prowadzące do powstania stref zniszczenia materiału konstrukcyjnego. Pojawienie się tej jakościowo nowej formy równowagi nazywane jest jej bifurkacją. Istnieją wtedy dwie formy równowagi, przy czym stara, przedkrytyczna, staje się niestateczna[4].

Analiza stateczności stanu równowagiEdytuj

Analiza stateczności stanu równowagi układu[1][4][6] wymaga badania warunków stacjonarności jego energii potencjalnej   W analizie tej korzysta się z zasady minimum energii potencjalnej. Jeżeli stan układu (jego konfiguracja) jest opisany za pomocą skończonej liczby   stopni swobody, to energia układu jest funkcją   zmiennych niezależnych   i warunki konieczne istnienia tego minimum przybierają postać

 

Jeżeli stan układu opisany jest za pomocą pewnego zbioru funkcji   to badanie jego stateczności wymaga analizy stacjonarności odpowiedniego funkcjonału.

Proste przykłady bifurkacjiEdytuj

Uproszczone modele pręta ściskanegoEdytuj

Przykład 1Edytuj

W celu zilustrowania zjawiska bifurkacji rozważymy układ mechaniczny (rys. 1a) składający się z pionowego, nieskończenie sztywnego i idealnie prostego pręta AB   o długości   Pręt na dolnym końcu podparty jest przegubowo nieprzesuwnie i zamocowany sprężyście za pomocą sprężyny o sztywności   Górny koniec pręta obciąża siła   skierowana pionowo w dół i działająca idealnie wzdłuż osi pręta.

Energia potencjalna układu, wychylonego o kąt   od pionu (rys. 1b), wyraża się wzorem

 

a warunek jej stacjonarności przybiera postać

(a1) 

albo

(a2) 
 
Rys. 1. Rozdwojenie (bifurkacja) stanów równowagi:   – stany równowagi chwiejnej;   – stany równowagi trwałej

Układ znajduje się w stanie równowagi (trwałej albo chwiejnej) tylko wtedy, gdy   jest pierwiastkiem   równania (a2). Równanie to może mieć dwa pierwiastki:

1)  – określa taki stan równowagi, kiedy pręt znajduje się w pozycji pionowej, niezależnie od wartości działającej siły  
2)  drugi pierwiastek   istnieje tylko wtedy, gdy
 

to zaś jest możliwe, gdy   (rys. 2d).

Ze wzoru (a2) wynika, że ten drugi pierwiastek istnieje tylko wtedy, gdy   gdzie   jest krytyczną wartością obciążenia   Przy takim obciążeniu pojawia się rozdwojenie (bifurkacja) stanów równowagi. Ze wzrostem obciążenia te dwa stany oddalają się od siebie (rys. 1c).

 
Rys. 2. Rozwiązanie nietrywialne  

Z pełniejszej analizy wynika, że stan określony przez   jest stanem równowagi chwiejnej, zaś stan   – stanem równowagi trwałej. Na rys. 2e pokazano zależność energii potencjalnej   układu od kąta wychylenia   Stanowi równowagi trwałej odpowiada minimum tej energii.

Przykład 2Edytuj

 
Rys. 3. Dwuczłonowy model pręta ściskanego

Zjawisko utraty stateczności pręta ściskanego przeanalizujemy teraz na modelu składającym się z dwóch pionowych członów o jednakowej długości   (rys. 3a). Układ w stanie równowagi utrzymują dwie sprężyny o jednakowej sztywności   Do opisu jego konfiguracji wprowadzimy dwa kąty   i   (rys. 3b).

Ograniczając rozważania tylko do małych kątów, pionowe przemieszczenie   punktu przyłożenia siły   (rys. 3b) zapiszemy wzorem  

Energia potencjalna układu wychylonego od pionu (rys. 3b) wynosi

 

a warunki konieczne istnienia jej minimum przybierają postać

 
 

albo
(b1) 

(b2) 

Ten układ równań ma rozwiązania nietrywialne tylko wtedy, gdy

 

Wyznacznik ma wartość zerową, gdy   przybiera wartości

 

lub

 

Z punktu widzenia stateczności modelu interesująca jest tylko większa wartość   gdyż odpowiada ona mniejszej wartości krytycznej działającego obciążenia   Wartość ta wynosi

 

Rzeczą interesującą jest porównanie obliczonej wartości   z wynikiem otrzymanym w przykładzie 1. Porównanie to wymaga jednak przyjęcia, że oba modele mają tę samą długość całkowitą   Jeżeli w tym celu w powyższym wzorze podstawimy   zamiast   to otrzymamy

 

Mniejsza wartość obciążenia krytycznego dla modelu dwuczłonowego wynika stąd, że model ten jest mniej sztywny od jednoczłonowego.

W przypadku, gdy obciążenie   modelu osiągnie wartość krytyczną   przedkrytyczny stan (forma) równowagi, określony przez kąty   przestaje być stateczny i pojawia się, nieskończenie bliski, sąsiedni stan równowagi trwałej. Stan ten nazywany jest formą utraty stateczności i może być określony na podstawie równań (b1,b2) po podstawieniu w nich   Z drugiego równania otrzymujemy

 

i na tej podstawie możemy narysować formę utraty stateczności (rys. 3c).

Uproszczony model pręta zginanegoEdytuj

Przykład 3Edytuj

Rozważymy uproszczony model belki wspornikowej płasko zginanej względem osi pionowej   (rys. 4a). Belka ma postać nieskończenie sztywnej   cienkiej „płytki” o kształcie prostokąta wydłużonego w kierunku osi   Płytka ta jest zamocowana sprężyście na końcu A za pomocą dwu sprężyn o sztywnościach   i   Sprężyna o sztywności   modeluje sztywność skręcania belki wokół osi   zaś sprężyna o sztywności   – sztywność zginania względem osi   Zamocowanie na końcu A przyjmiemy jako nieskończenie sztywne względem osi   Model jest obciążony pionową siłą   działającą na końcu swobodnym w punkcie B położonym na osi  

 
Rys. 4. Uproszczony model zwichrzenia belki wspornikowej

Konfigurację (stan) układu, w małym otoczeniu punktu   opiszemy jednoznacznie za pomocą dwu kątów   i   (rys. 4b). Pierwszy z nich określa obrót modelu wokoło osi   (rys. 4d), drugi zaś – wokoło osi   (rys. 4c). Punkt B przyłożenia siły   doznaje przemieszczenia o poziomej składowej   (rys. 4c) i pionowej   (rys. 4d).

Energia potencjalna układu wyraża się wzorem

 

Warunki konieczne stacjonarności energii   mają postać układu równań

  albo  
  albo  

Ten układ równań ma dwa rozwiązania:

1) trywialne   i   niezależnie od wartości działającego obciążenia  
2) nietrywialne, które istnieje tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
 

Z warunku tego wynika krytyczna wartość obciążenia

  oraz rozwiązanie  

Uwagi ogólneEdytuj

Najprostszym i najczęściej występującym inżynierskim przypadkiem utraty stateczności jest eulerowskie wyboczenie pręta o osi idealnie prostoliniowej, poddanego czystemu ściskaniu osiowemu. Takie ściskanie może być wywołane dwójką sił skupionych, przyłożonych na przeciwległych jego końcach i działających idealnie wzdłuż jego osi. Utrata stateczności polega w tym przypadku na przejściu pręta w jego pokrytyczny stan giętny (zgięciowy) w płaszczyźnie prostopadłej do tej osi przekroju, względem której jego główny centralny moment bezwładności jest najmniejszy.

Równie często występuje utrata stateczności przez zwichrzenie, podczas zginania w płaszczyźnie pionowej, belek o przekrojach zbliżonych do postaci wąskich pionowych prostokątów. W przedkrytycznym stanie równowagi, pod wpływem działającego obciążenia, oś   ugiętej belki leży dokładnie w płaszczyźnie pionowej   i opisana jest równaniem   Bifurkacja polega w tym przypadku na pojawieniu się dwu wzajemnie sprzężonych przemieszczeń:

  • ugięcia   w płaszczyźnie poziomej   oraz
  • kąta   obrotu (zwichrzenia) przekroju względem osi  

Belka podlegająca w stanie przedkrytycznym płaskiemu zginaniu względem osi   (tzn. w płaszczyźnie  ) zaczyna w stanie pokrytycznym dodatkowo wyginać się względem osi   (tzn. w płaszczyźnie  ) i zaczyna stawać się wichrowata, czemu towarzyszy obrót jej przekrojów wkoło osi   wywołany skręcaniem belki. Istota tego zwichrowania polega na tym, że płaszczyzna   przekształca się w pewną powierzchnię prostokreślną zawierającą odkształconą oś belki zwichrzonej.

Analiza stateczności polega na poszukiwaniu sąsiedniego stanu równowagi, tego który pojawia się w momencie utraty stateczności. To poszukiwanie sprowadza się do badania niezerowych rozwiązań odpowiednich równań różniczkowych.

Wyboczenie pręta ściskanego osiowoEdytuj

Skupimy teraz uwagę na idealnym (tzn. pozbawionym wszelkich imperfekcji) modelu pręta ściskanego, pokazanym na rys. 5a. Analizę wyboczenia przeprowadzimy w ramach teorii Eulera, zakładając dodatkowo, że  . Dzięki temu założeniu wyeliminujemy z rozważań przemieszczenia pierwszego rodzaju występujące w stanie przedkrytycznym (skrócenie pręta), które nie mają żadnego wpływu na obliczenie wartości krytycznej działającego obciążenia.

 
Rys. 5. Pręt ściskany osiowo

Dzięki założeniu, że   konfigurację pręta opisywać będzie tylko jedna funkcja   nazywana jego linią ugięcia. Funkcja ta opisuje przemieszczenia drugiego rodzaju (pokrytyczne), które w stanie przedkrytycznym są równe zeru, tzn.   (rys. 5a), a w stanie krytycznym (gdy  ) przedstawiają postać utraty stateczności.

Energię układu odkształconego (rys. 5b) można zapisać w postaci funkcjonału

(a) 
 

Przemieszczenie końca pręta   (rys. b) otrzymujemy przez całkowanie efektów pokazanych na rys. 5c. Efekty te o wielkości

 

występują w każdym elementarnym odcinku pręta o długości   i pochodzą od ich obrotów o kąt   związany z uginaniem się jego nieściśliwej osi w płaszczyźnie   (rys. 5b).

Równanie równowagi pręta otrzymamy jako warunek stacjonarności funkcjonału (a) energii potencjalnej   układu. Wariację tego funkcjonału zapiszemy zgodnie z zasadami rachunku wariacyjnego, w postaci  

Po scałkowaniu przez części otrzymujemy

 
 

gdzie:

 
 

Funkcjonał   jest stacjonarny, gdy spełnione jest jego równanie Eulera

 

przy dowolnych warunkach brzegowych.

Przykład 4Edytuj

Pokrytyczny stan równowagi ściskanego pręta pryzmatycznego   opisuje równanie

 

gdzie:

  – linia ugięcia pręta wyboczonego (forma utraty stateczności),
  – mniejsza ze sztywności przekroju na zginanie,
  – długość pręta,
  – siła ściskająca pręt.

Równanie to ma dwa rozwiązania

  – opisujące prostoliniowy stan przedkrytyczny pręta i
 

opisujące jego nieskończenie bliski stan krytyczny.

Stałe   wyznacza się na podstawie warunków podparcia pręta. I tak na przykład dla pręta podpartego przegubowo na obu końcach   otrzymuje się   oraz

 

Rozwiązaniem tego równania jest

 

Najniższa, niezerowa wartość obciążenia krytycznego określona jest przez   skąd

 

Stan krytyczny (formę utraty stateczności) opisuje funkcja

 

Występująca w powyższych wzorach wielkość   jest mniejszym z dwóch głównych centralnych momentów bezwładności poprzecznego przekroju pręta. Określa ona płaszczyznę, w której następuje wyboczenie (forma utraty stateczności).

Na podkreślenie zasługuje fakt, że w opisanym przypadku bifurkacja stanu równowagi następuje od zerowego stanu przedkrytycznego   co w istotny sposób upraszcza obliczenia.

Zwichrzenie belki płasko zginanejEdytuj

Przykład 5Edytuj

W tym przypadku sytuacja jest trochę bardziej złożona[7]. Celem jej uproszczenia rozważymy tylko przypadek szczególny obciążenia belki pryzmatycznej (       ) dwójką momentów   działających na jej końcach, w płaszczyźnie pionowej   Linia ugięcia stanu przedkrytycznego opisana jest równaniem  

Pokrytyczny stan przemieszczenia powstaje w wyniku bifurkacji stanu przedkrytycznego i pojawieniu się dwu nowych przemieszczeń (ugięcia   w płaszczyźnie   i obrotu   względem osi  ) opisanych przez równania

 

Różniczkując i eliminując   otrzymuje się równanie dla wyznaczenia kąta   obrotu przekroju

 

Rozwiązanie równania ma postać

 

Krytyczną wartość obciążenia   można obliczyć na podstawie konkretnych warunków podparcia. I tak na przykład dla belki widełkowo podpartej na obu końcach, jest   skąd wynika warunek dla obciążenia krytycznego

 

Najniższa wartość krytyczna obciążenia wynosi

 

Formę utraty stateczności opisują funkcje

 

PrzypisyEdytuj

  1. a b S.P. Timoshenko, J.M. Gere, Teoria stateczności sprężystej, Arkady, Warszawa 1963.
  2. N.M. Bielajew, Wytrzymałość materiałów, Wydawnictwo MON, Warszawa 1954, rozdz. część IX.
  3. S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa 1980, s. 304.
  4. a b c J. Naleszkiewicz, Zagadnienia stateczności sprężystej, PWN, Warszawa 1958.
  5. R. Kurowski, Z. Parszewski, Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów, PWN, Warszawa 1962.
  6. B. Olszowski, M. Radwańska, Mechanika budowli, t. 1–2, Kraków 2010, Wyd. Politechniki Krakowskiej.
  7. Jak w p. 4, s. 224.