Stożek (topologia)

W topologii, w szczególności w topologii algebraicznej, stożkiem nad przestrzenią topologiczną jest przestrzeń ilorazowa:

Stożek okręgu. Podstawa stożka jest niebieska, a ściągnięty punkt jest zielony.

iloczynu przestrzeni przez przedział jednostkowy

Intuicyjnie nad przestrzenią tworzymy walec i ściągamy jeden z końców walca do punktu.

Jeśli jest podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej, to stożek nad jest homeomorficzny z sumą odcinków łączących punkty przestrzeni z pewnym punktem zewnętrznym. W tym sensie stożek topologiczny jest identyczny ze stożkiem geometrycznym. Pojęcie stożka topologicznego jest znacznie bardziej ogólne.

PrzykładyEdytuj

  • Stożek nad punktem   jest homeomorficzny z przedziałem  
  • Stożek nad dwoma punktami   ma kształt litery „V”.
  • Stożek nad przedziałem   osi rzeczywistej jest trójkątem, zwanym inaczej 2-sympleksem.
  • Stożek nad wielokątem   jest ostrosłupem o podstawie  
  • Stożek nad kołem jest stożkiem w sensie geometrii klasycznej.
  • Stożek nad okręgiem jest powierzchnia boczna stożka:
 
Jest on homeomorficzny z domkniętym kołem.
  • Ogólnie, stożek nad n-sferą jest homeomorficzny z domkniętą  -kulą.
  • Stożek nad  -sympleksem jest  -sympleksem.

WłasnościEdytuj

Wszystkie stożki są łukowo spójne ponieważ każdy jego punkt może być połączony odcinkiem z wierzchołkiem stożka. Ponadto każdy stożek jest ściągalny do wierzchołka za pomocą homotopii

 

Stożek jest używany w topologii algebraicznej, bo zawiera przestrzeń   jako podprzestrzeń przestrzeni ściągalnej.

Stożek zredukowanyEdytuj

Jeśli   jest przestrzenią punktowaną, to istnieje konstrukcja stożka zredukowanego:

 

Kompleksy łańcuchoweEdytuj

  • Stożkiem przekształcenia łańcuchowego   nazywamy kompleks łańcuchowy   w którym:
 
  gdzie  

Konstrukcji tej odpowiada następująca konstrukcja geometryczna:

w iloczynie wielościanu   przez odcinek jednostkowy   gdzie   ściągamy do punktu podstawę iloczynu   a drugą podstawę   doklejamy do wielościanu   za pomocą przekształcenia   co sprowadza się do podzielenia sumy rozłącznej wielościanów   przez relacje   i   dla dowolnych  

Stożek przekształcenia łańcuchowego identycznościowego   nazywa się stożkiem nad kompleksem   i oznacza się go  

Ma wtedy miejsce krótki ciąg dokładny:

 

gdzie   jest zawieszeniem kompleksu   a   i   są przekształceniami łańcuchowymi określonymi wzorami:

 

Funktor stożkowyEdytuj

Odwzorowanie   generuje funktor   na kategorii przestrzeni topologicznych Top.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj