Stopień wielomianu

Stopień jednomianusuma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych niezerowego jednomianu, np. jednomian jest stopnia drugiego.

Stopień wielomianu jest to najwyższy ze stopni jego składników (jednomianów) o niezerowych współczynnikach. Dla wielomianu jednej zmiennej jest to największa potęga zmiennej, która występuje jawnie w wielomianie.

Stopień wielomianu oznaczamy (skrót od angielskiego degree).

Niekiedy zakłada się, że jeśli wówczas

Stopień wielomianu ma następujące własności:

  • stopień sumy i różnicy wielomianów jest nie większy niż większy z ich stopni:
  • stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie ich stopni w pierścieniu bez dzielników zera:

PrzykładyEdytuj

  •   – wielomian stopnia 3,
  •   – wielomian stopnia 5,
  •   – wielomian stopnia 1,
  •   – wielomian stopnia 0,
  •   – wielomian zerowy (najczęściej dla tego wielomianu nie definiuje się stopnia).

Rozszerzenie pojęciaEdytuj

Stopień wielomianu   można także zdefiniować metodami analitycznymi:

 

Definicję tę można zastosować dla każdej funkcji ciągłej, która od pewnego miejsca nie zmienia znaku i dla której powyższa granica istnieje. Np.:

  •  
  •  
  •  
  •  

Jeśli obliczanie granicy prowadzi do wyrażenia nieoznaczonego   to dla funkcji różniczkowalnej można skorzystać z reguły de l’Hospitala. Wówczas

 

Jeśli   istnieją, to łatwo sprawdzić, że istnieje   oraz   Faktycznie