Stowarzyszone funkcje Legendre’a

Stowarzyszone funkcje Legendre’a (stowarzyszone wielomiany Legendre’a)funkcje zmiennej rzeczywistej będące kanonicznymi rozwiązaniami równania różniczkowego Legendre’a

gdzie parametry równania.

Równanie to ma niezerowe i nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb całkowitych takich że

(1) oraz

(2) są liczbami całkowitymi, takimi że

Funkcje te są związane z wielomianami Legendre’a zależnością

Stowarzyszone funkcje Legendre’a stanowią zasadniczą część tzw. harmonik sferycznych.

Ogólne rozwiązanie równania Legendre’aEdytuj

Ogólne rozwiązanie   można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji   o różnych wartościach parametrów   Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Przykłady wielomianów Legendre’a Edytuj

Kilka pierwszych stowarzyszonych wielomianów Legendre’a, włączając te z ujemnymi wartościami   są następujące:

(0)

 

(1)

 

(2)

 

(3)

 

(4)

 

Funkcje Legendre’a wyrażone za pomocą kąta Edytuj

Funkcje  Edytuj

Stowarzyszone funkcje Legendre’a są najbardziej użyteczne, gdy ich argument wyrazi się w funkcji kąta: podstawiając do równania Legendre’a (por. wstęp do artykułu) wielkość   oraz używając relacji   otrzymuje się równanie różniczkowe zależne od dwóch parametrów   postaci

 

Rozwiązaniami tego równania są funkcje   zmiennej   takie że

 

gdzie   wielomianami Legendre’a z argumentem   przy czym rozwiązania są nieosobliwe tylko gdy spełnione są warunki:

(1)   oraz

(2)   są liczbami całkowitymi, takimi że  

Relacje ortogonalnościEdytuj

(1) Dla ustalonego   funkcje   z parametrem   są ortogonalne z wagą  

 

(2) Także, dla danego   mamy

 

Ogólne rozwiązanieEdytuj

Ogólne rozwiązanie   można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji   o różnych wartościach parametrów   Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Przykłady stowarzyszonych funkcji Legendre’a Edytuj

 

Zastosowania w fizyceEdytuj

Osobny artykuł: Harmoniki sferyczne.

Równania opisujące układy i pola o symetrii sferycznejEdytuj

Stowarzyszone wielomiany Legendre’a są głównymi składnikami rozwiązań równań fizycznych w wielu sytuacjach, gdy układy i pola mają symetrią sferyczną. Np. równanie Schrödingera zapisane dla atomu wodoru, gdy na atom nie działa żadne pole zewnętrzne (np. pole magnetyczne) ma symetrię sferyczną. W takich sytuacjach wygodnie jest zapisać równanie różniczkowe w układzie współrzędnych sferycznych   i rozwiązać je metodą separacji zmiennych. Część równania, która zostaje po odrzuceniu części radialnej zależnej od   ma zwykle postać   przy czym   oznacza operator Laplace’a zapisany we współrzędnych sferycznych, przy założeniu stałości współrzędnej radialnej   Rozwiązaniami tego równania są tzw. harmoniki sferyczne, będące iloczynami wielomianów Legendre’a (zależnych od kąta  ) i funkcji zależnych od kąta  

Równanie  Edytuj

Wielomiany Legendre’a stanowią główny składnik rozwiązania równania   określonego na powierzchni sfery dla zmiennych   Zapisując operator Laplace’a   we współrzędnych sferycznych dla stałej współrzędnej radialnej   równanie to przyjmie postać

 

które rozwiązuje się metodą separacji zmiennych, tj. przyjmując   Otrzymuje się stąd dwa równania:

(1) równanie zależne od  

 

– jego rozwiązania są postaci   lub   przy czym   aby rozwiązania były jednoznaczne dla powtarzających się wartości kąta co   tj.  

(2) równanie zależne od  

 

– jego rozwiązaniami są wielomiany Legendre’a   mnożone przez dowolną stałą, przy czym   oraz   aby rozwiązania nie były osobliwe.

Równanie   posiada więc nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb   takich że   przy czym rozwiązania te są proporcjonalne do

 

i

 

Dla każdej liczby   mamy   funkcji o różnych wartościach   oraz dwie funkcje sin i cos. Funkcje te są ortogonalne zarówno dla różnych wartości liczb   oraz   jeżeli całkuje się je po całej powierzchni sfery.

Rozwiązania te zapisuje się zwykle z użyciem zespolonej funkcji eksponencjalnej

 

Funkcje   nazywa się harmonikami sferycznymi; wielkość pod pierwiastkiem jest czynnikiem normalizacyjnym. Z powyższego wzoru wynika, że zależność między harmonikami sferycznymi o tych samych wartościach   a przeciwnych wartościach   spełnia zależność

 

gdzie   oznacza sprzężenie zespolone.