Otwórz menu główne

Suma prosta przestrzeni liniowych

Suma Prosta przestrzeni liniowych

Suma prosta przestrzeni liniowych – mówimy, że przestrzeń liniowa jest przedstawiona w postaci sumy prostej jej podprzestrzeni liniowych (gdzie jest pewnym zbiorem indeksów), gdy każdy element może być jednoznacznie przedstawiony w postaci poniższej sumy:

dla

Piszemy wówczas:

bądź skrótowo

gdzie

Podział danej przestrzeni na sumy proste pozwala klasyfikować jej elementy – jeżeli dany wektor należy do podprzestrzeni to wyraża się całkowicie za pomocą wektorów bazy tej podprzestrzeni.

Podział przestrzeni na podprzestrzenie tworzące sumę prostą przestrzeni nie jest unikalny – istnieje zazwyczaj wiele możliwych podziałów przestrzeni liniowej na sumy proste.

TwierdzenieEdytuj

Jeżeli   jest podprzestrzenią liniową przestrzeni   to zawsze istnieje taka podprzestrzeń   że

 

W algebrze liniowej, podprzestrzenie   i   nazywane są podprzestrzeniami (wzajemnie) komplementarnymi.

Przykład 1: Suma prosta w przestrzeni funkcjiEdytuj

Niech   oznacza przestrzeń liniową wszystkich funkcji rzeczywistych określonych w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech   będą zdefiniowane jako:

Dowolną funkcje   można przedstawić jako sumę 

gdzie pierwszy składnik jest funkcją parzystą, drugi zaś nieparzystą. Rozkład ten jest jednoznaczny.

Dowód (niewprost)

Załóżmy że daną funkcje daje się rozłożyć na dwa sposoby na sumę funkcji parzystej i nieparzystej. Czyli mamy:

 

lub równoważnie

 

Prawa strona jest funkcją parzystą (suma parzystych jest parzysta) zaś lewa – nieparzystą. Jedyną funkcją która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta jest funkcja stale równa zero. Oznacza to że

  oraz  

co prowadzi nas do sprzeczności z przyjętym założeniem, cdn.

Ponieważ każdą funkcję można jednoznacznie przedstawić za pomocą sumy funkcji parzystej i nieparzystej, to oznacza że przestrzeń funkcji można przedstawić jako sumę prostą funkcji parzystych i nieparzystych:

 

Przykład 2: Suma prosta w przestrzeni macierzy kwadratowychEdytuj

W przestrzeni liniowej   macierzy   każdą macierz można przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej, tzn.

 

gdzie:

  – macierz transponowana macierzy  
  – macierz symetryczna,
  – macierz antysymetryczna.

Macierze symetryczne tworzą podprzestrzeń   przestrzeni liniowej   macierzy, gdyż:

a) suma macierzy symetrycznych jest macierzą symetryczną,

b) iloczyn macierzy symetrycznej przez skalar daje macierz symetryczną.

Podobnie, macierze antysymetryczne tworzą podprzestrzeń   przestrzeni  

Ponieważ każdą macierz przestrzeni   da się jednoznacznie rozłożyć na macierz symetryczną i antysymetryczną, to całą przestrzeń można przedstawić jako sumę prostą

 

Np. dla macierzy

 

macierz transponowana, symetryczna i antysymetryczna mają postacie

     

Przykład 3: Suma prosta w przestrzeni tensorowejEdytuj

Przestrzeń liniowa utworzona z tensorów II rzędu (tzw. przestrzeń tensorowa) może być przedstawiona jako suma prosta przestrzeni tensorowej tensorów symetrycznych i przestrzeni tensorowej tensorów antysymetrycznych. Np. w reprezentacji macierzowej dowolny tensor II rzędu jest reprezentowany przez macierz   gdzie   – wymiar przestrzeni liniowej, na której określono pole tensorowe. Macierz tę można zawsze przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.

Przykład 4: Przestrzeń wektorowa n-wymiarowaEdytuj

Niech   oznacza przestrzeń wektorową  -wymiarową (ogólnie:  -wymiarową). W przestrzeni tej można wprowadzić podział na sumy proste następująco:

  • wybiera się bazę przestrzeni   (możliwych baz jest nieskończenie wiele – najprostsze są bazy kartezjańskie, w ogólności mogą to być bazy współrzędnych krzywoliniowych, np. sferycznych, walcowych, i dowolnych innych),
  • zbiór wektorów   bazy dzieli się na rozłączne podzbiory; np. dla zbioru  -elementowego mamy możliwe podziały bazy:
     
     
     
     

Każdy z podziałów bazy na podzbiory wyznacza jeden z możliwych sposobów podziału przestrzeni   na sumę prostą podprzestrzeni – bazami tych podprzestrzeni są poszczególne podzbiory bazy w danym podziale. W podanym przykładzie mielibyśmy 4 możliwe podziały na sumy proste, których bazami byłyby podane wyżej podzbiory bazy  

 
 
 
 

Dla przestrzeni  -wymiarowej – przy dużej wartości   – możliwych podziałów byłoby bardzo dużo.

Suma prosta w analizie funkcjonalnejEdytuj

W analizie funkcjonalnej, suma prosta podprzestrzeni   i   danej przestrzeni liniowo-topologicznej   oznacza sumę prostą

 

przy założeniu, że   i  domknięte (czasami dla odróżnienia, mówi się o topologicznej sumie prostej). Jeśli   jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni liniowo-topologicznej   (np. przestrzeni Banacha  ), to na ogół, nie istnieje komplementarna do niej podprzestrzeń   (tutaj definicję komplementarności zawęża się o wymaganie domkniętości obu podprzestrzeni). W przypadku, gdy   jest przestrzenią Hilberta, to twierdzenie o rzucie ortogonalnym gwarantuje, że dla każdej jej domkniętej podprzestrzeni   jej dopełnienie ortogonalne   stanowi rozkład na (topologiczną) sumę prostą, tzn.

 

Własność ta (tzn. własność istnienia podprzestrzeni komplementarnej do każdej domkniętej podprzestrzeni) charakteryzuje przestrzenie Hilberta w klasie przestrzeni Banacha.

Zewnętrzna suma prostaEdytuj

Niech   będzie rodziną przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem. Najmniejszą podprzestrzeń liniowa iloczynu kartezjańskiego

 

która zawiera zbiór

 

tzn. jest przez ten zbiór generowana, gdzie

 

przyporządkowuje elementowi   taki element

 

że   oraz   dla   nazywana jest (zewnętrzną) sumą prostą rodziny  

W przypadku zewnętrznej sumy prostej stosuje się takie same oznaczenia jak w przypadku pojęcia zdefiniowanego na początku artykułu (które dla odróżnienia nazywa się wówczas wewnętrzną sumą prostą). Jeżeli   jest zbiorem skończonym, to suma prosta przestrzeni jest tym samym co ich iloczyn kartezjański:

 

Zewnętrzna suma prosta jest koproduktem w kategorii przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem.

Suma prosta odwzorowańEdytuj

Dla pary odwzorowań między przestrzeniami liniowymi   i    

 
 

definiuje się ich sumę prostą

 

wzorem

 

Analogicznie definiuje się sumę prostą dowolnej liczby odwzorowań: Jeżeli   są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem oraz

 

to wzór

 

definiuje przekształcenie

 

nazywane sumą prostą rodziny odwzorowań  

Suma prosta przestrzeni BanachaEdytuj

Jeżeli   jest rodziną przestrzeń Banacha, to w (algebraicznej) sumie prostej

 

nie da się w naturalny sposób zdefiniować normy, która byłaby w istotny sposób związana z normami poszczególnych przestrzeni   a uzyskana przestrzeń unormowana byłaby zupełna (poza szczególnym przypadkiem, gdy zbiór   jest skończony). W sytuacji ogólnej musimy rozpatrywać uzupełnienie algebraicznej sumy prostej – jest to procedura którą intuicyjnie można opisać jako dołożenie do niej granic ciągów Cauchy’ego. Na algebraicznej sumie prostej można zadać wiele nierównoważnych norm – prowadzi to powstania wielu różnych sposobów określania sumy prostej.

c0-suma przestrzeni BanachaEdytuj

Jeżeli   jest (przeliczalną) rodziną przestrzeni Banacha, to podprzestrzeń

 

tych ciągów   dla których

 

jest przestrzenią Banacha z normą

 

Podprzestrzeń   nazywana jest czasem   sumą rozważanej wyżej rodziny przestrzeni Banacha i oznaczana jest symbolem

 

Analogicznie definiuje się sumy typu   gdzie   jest dowolnym, nieprzeliczalnym zbiorem indeksów.

lp-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni HilbertaEdytuj

Jeżeli   jest rodziną przestrzeni Banacha oraz   to podprzestrzeń

 

złożona z tych elementów   dla których co najwyżej przeliczalnie wiele wyrazów   jest niezerowych oraz szereg

 

jest zbieżny, jest przestrzenią Banacha z normą

 

Przestrzeń   nazywana jest  -sumą rodziny   i oznaczana symbolem

 

Jeżeli   i   są dowolnymi liczbami z przedziału   to normy w   – i  -sumie skończenie wielu przestrzeni Banacha są równoważne.

W przypadku, gdy wszystkie przestrzenie  przestrzeniami Hilberta, to ich  -suma jest również przestrzenią Hilberta. W teorii przestrzeni Hilberta, przestrzeń ta nazywana jest po prostu suma prostą przestrzeni Hilberta (dolny indeks   w oznaczeniu najczęściej pomija się). Iloczyn skalarny elementów   i   w sumie prostej spełnia warunek

 

Pojęcie  -sumy skończenie wielu przestrzeni Banacha pochodzi od Banacha[1]. Przypadek przeliczalnie wielu przestrzeni Banacha rozważał Day[2], natomiast przypadek ogólny został zdefiniowany przez Kakutaniego[3].

Suma prosta operatorów ograniczonychEdytuj

Jeżeli   jest rodziną operatorów jednakowo ograniczonych między przestrzeniami Banacha, odpowiednio,   i   tj.

 

to dla ustalonego   definiuje się analogicznie jak w przypadku ogólnych przestrzeni liniowych  -sumę rodziny   tj. operator

 

zastępując pojęcie sumy prostej pojęciem  -sumy. W szczególności,  -suma operatorów ograniczonych jest operatorem ograniczonym oraz

 

Jeżeli   są przestrzeniami Hilberta, to  -sumę operatorów   nazywa się sumą prostą operatorów na przestrzeniach Hilberta.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2 Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.
  • Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
  • Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 126–127. ISBN 0-8176-4367-2.
  • A.P. Robertson, W.J. Robertson: Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53: Cambridge University Press, 1964, s. 89–90.