Otwórz menu główne

Sumowalność metodą Cesàro

Sumowalność metodą Cesàro lub sumowalność w sensie Cesàro – alternatywny sposób przypisania sumy do nieskończonego szeregu w analizie matematycznej. Jeśli szereg jest zbieżny w zwykłym sensie do sumy to jest także sumowalny metodą Cesàro i jego suma w sensie Cesàro również wynosi Znaczenie sumowalności metodą Cesàro polega na tym, że szeregi rozbieżne mogą mieć dobrze zdefiniowaną sumę Cesàro.

Nazwa metody sumowania pochodzi od włoskiego matematyka Ernesto Cesàro (1859–1906).

DefinicjaEdytuj

Dla danego nieskończonego ciągu   definiuje się

 

będący  -tą sumą częściową ciągu   lub sumą częściową szeregu

 

O szeregu   mówi się, że ma sumę w sensie Cesàro o wartości   jeżeli średnia wartość jego sum cząstkowych jest zbieżna do  

 

Innymi słowy, suma w sensie Cesàro nieskończonego szeregu jest granicą średniej arytmetycznej (średnia) pierwszych   sum częściowych szeregu, przy   zmierzającym do nieskończoności.

PrzykładyEdytuj

Połóżmy   dla   Kolejne wyrazy ciągu   to

 

Stąd ciąg sum częściowych   to

 

Wyraźnie widać, że ten szereg, znany jako szereg Grandiego, nie jest zbieżny. Z drugiej strony jednak widać, że wyrazy ciągu   wynoszą

 

czyli

 

Wobec powyższego suma szeregu   w sensie Cesàro wynosi 1/2.

Rozpatrując kolejny ciąg   Wyrazy ciągu   to

 

a ich suma jest rozbieżna do nieskończoności. Wyrazy ciągu   wynoszą

 

Są one również rozbieżne do nieskończoności, wobec czego szereg ten nie jest sumowalny w sensie Cesàro. Uogólniając, w szeregach rozbieżnych do (dodatniej lub ujemnej) nieskończoności sumowanie metodą Cesàro prowadzi do ciągów podobnie rozbieżnych, a więc takie szeregi nie są sumowalne w sensie Cesàro. Ciągi monotoniczne tworzą albo szeregi zbieżne albo rozbieżne do nieskończoności, stąd wynika, że jeśli szereg nie jest zbieżny, ale jest sumowalny w sensie Cesàro to jego wyrazy muszą oscylować tj. zawierać wyrazy dodatnie i ujemne. Należy jednak zauważyć, że nie muszą one pojawiać się regularnie lub powtarzać się według oczywistego wzoru.

Sumowanie (C, α)Edytuj

W 1890 roku Ernesto Cesàro zdefiniował szerszą rodzinę metod sumowania, którą określono mianem   dla nieujemnych liczb całkowitych   Metoda   jest tradycyjnym sumowaniem, a   jest metodą sumowania Cesàro opisaną powyżej.

Metody wyższych rzędów można opisać następująco: mając dany szereg   definiuje się wielkości

 

oraz wprowadza   będące wartościami   dla szeregu   Wtedy suma   szeregu   jest oznaczana przez   i wynosi

 

jeśli istnieje[1].

PrzypisyEdytuj

  1. Shawyer & Watson, s. 16–17.

BibliografiaEdytuj