Sygnał harmoniczny

Sygnał harmoniczny (inaczej: sygnał sinusoidalny) to sygnał, którego zmienność określa funkcja sinusoidalna.

Rzeczywisty sygnał harmoniczny

Rzeczywisty sygnał harmoniczny można zapisać w postaci

$u(t)=A\cos(2\pi f_{0}t+\varphi _{0}),$

gdzie:

$A$ – amplituda,

$f_{0}$ – częstotliwość,

$\varphi _{0}$ – faza początkowa, to znaczy faza dla chwili $t=0.$

Postać ta jest równoważna innej formie wynikającej z tożsamości trygonometrycznych:

$u(t)=a\cos(2\pi f_{0}t)+b\sin(2\pi f_{0}t),$

gdzie wielkości A, a, b spełniają zależności

$A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

$\operatorname {tg} (\varphi _{0})={\frac {b}{a}}$

oraz

$a=A\cos(\varphi _{0}),$

$b=A\sin(\varphi _{0}).$

Sygnał harmoniczny jest okresowy, przy czym jego okres $T$ wynosi

$T={\frac {1}{f_{0}}}.$

Dla sygnału harmonicznego definiuje się pojęcie pulsacji $\omega _{0}$ jako

$\omega _{0}=2\pi f_{0}.$

Widmo

Widmo rzeczywistego sygnału harmonicznego zawiera dwa impulsy Diraca umieszczone odpowiednio w punktach $\omega _{0}$ oraz $-\omega _{0}$ w dziedzinie pulsacji.

Zespolony sygnał harmoniczny

Zespolony sygnał harmoniczny $z(t)$ to uogólnienie rzeczywistego sygnału harmonicznego $u(t)$ takie, że

$u(t)=\Re \{z(t)\},$

najczęściej postaci

$z(t)=Ae^{j2\pi f_{0}t+\varphi _{0}}=\cos(2\pi f_{0}t+\varphi _{0})+j\sin(2\pi f_{0}t+\varphi _{0}).$

Widmo

Widmo zespolonego sygnału harmonicznego o postaci jak wyżej zawiera pojedynczy impuls Diraca umieszczony w punkcie $\omega _{0}$ w dziedzinie pulsacji.

Dyskretny sygnał harmoniczny

Dyskretny sygnał harmoniczny to sygnał $u(n)$ określony dla dyskretnych wartości argumentu $n,$ o postaci

$u(n)=A\cos \left(2\pi {\frac {f_{0}}{f_{s}}}n+\varphi _{0}\right),$

gdzie:

$f_{s}$ – częstotliwość próbkowania.

Dyskretny sygnał harmoniczny jest okresowy tylko wtedy, gdy jego częstotliwość $f_{0}$ jest całkowitą podwielokrotnością częstotliwości próbkowania $f_{s}.$

Widmo

Widmo dyskretnego sygnału harmonicznego zawiera nieskończony ciąg par impulsów Diraca, powtarzających się w pulsacjach $k2\pi f_{s}+\omega _{0}$ oraz $k2\pi f_{s}-\omega _{0},$ dla wszystkich całkowitych $k.$

Bibliografia

• Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G., Teoria sygnałów. Wstęp, Wydanie 2, Wydawnictwo Helion, 2006.
• MarianM. Pasko MarianM., JanuszJ. Walczak JanuszJ., Teoria sygnałów, Gliwice: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 2003, ISBN 83-7335-054-3, OCLC 749228854 .
• Szabatin J., Podstawy teorii sygnałów, wyd. V, WKiŁ, 2007, ISBN 978-83-206-1331-5.
• Zieliński Tomasz P., Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Wydział EAIiE AGH, Kraków 2000.
• Zieliński Tomasz P., Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: od teorii do zastosowań, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Wyd. 2 popr., Warszawa 2007, ISBN 978-83-206-1640-8.