Otwórz menu główne

Symbole Christoffela – zespół liczb rzeczywistych, pojawiający się przy obliczaniu różniczek wektora w układach współrzędnych krzywoliniowych, wprowadzonych w dowolnych rozmaitościach riemannowskich.

Np. różniczka wektora powstająca przy infinitezymalnej zmianie położenia na na rozmaitości wyrażana jest za pomocą symboli Christoffela 2-go rodzaju. W ogólności symbole te występują w różniczkach wielkości tensorowych, gdy oblicza się zmianę tych wielkości przy zmianie położenia na rozmaitości (wektor jest tensorem I rzędu). Symbole te pojawiają się także w równaniach różniczkowych określających linie geodezyjne.

Istnieją dwa, blisko spokrewnione ze sobą typy symboli:

  • pierwszego rodzaju:
  • drugiego rodzaju:

Nazwa symboli pochodzi od Elwina Bruno Christoffela.

Spis treści

Baza lokalna wektorów na rozmaitościEdytuj

Niech   oznaczają współrzędne (na ogół krzywoliniowe) zdefiniowane na rozmaitości   przy czym   jest wymiarem rozmaitości.

Wektory styczne do linii współrzędnych oblicza się ze wzoru

 

gdzie   jest wektorem wodzącym punktu na rozmaitości. Wektory te definiują lokalną bazę, określona dla przestrzeni stycznej   w punkcie   rozmaitości   (Odtąd będziemy skrótowo mówić „punkt  ” zamiast „punkt o wektorze wodzącym  ”. Zauważmy jednak, że wektor wodzący zależy od przyjętego początku układu współrzędnych, punkt zaś jest niezależnym od tego wyboru elementem rozmaitości.) Dla każdego punktu rozmaitości da się określić lokalną, unikalną bazę.

Tensor metrycznyEdytuj

Na podstawie wektorów bazy łatwo jest obliczyć tensor metryczny rozmaitości licząc iloczyny skalarne

 

Tensor ten ma więc   elementów. Jest to postać kowariantna (o dolnych indeksach) tensora. Postać kontrawariantną (o górnych indeksach) otrzymuje się jako macierz odwrotną z macierzy   czyli:

 

Symbole Christoffela pierwszego rodzajuEdytuj

Symbole Christoffela pierwszego rodzaju można obliczyć różniczkując elementy tensora metrycznego  

 

Symbole Christoffela pierwszego rodzaju nie są tensorami, mimo że są zapisane w takiej samej notacji jak tensory. Symbole te zależą od elementów tensora metrycznego   wybranego układu współrzędnych. Dlatego w danej rozmaitości można wybrać taki układ współrzędnych, w którym symbole Christoffela wyzerują się w otoczeniu wybranego punktu   Ale nie będzie tak już w innych punktach, gdyż tensor metryczny zmienia się ze zmianą położenia punktu   na rozmaitości. Powyższe uwagi dotyczą także symboli Christoffela drugiego rodzaju.

Symbole Christoffela drugiego rodzajuEdytuj

Symbole Christoffela drugiego rodzaju można obliczyć różniczkując elementy tensora metrycznego  

 

przy czym wielkości o górnych indeksach   są elementami macierzy odwrotnej do macierzy   tj.

 

gdzie  delta Kroneckera i obowiązuje notacja sumacyjna Einsteina (w powyższym wzorze sumowanie przebiega po wskaźniku  ).

Także symbole Christoffela drugiego rodzaju nie są tensorami. Zachodzi symetria:

 

– to wynika z definicji symboli   oraz z symetrii tensora metrycznego.

Liczba symboli zależy od   Np. dla   mamy   symbol. Dla   mamy już   symbole itd.

Szkic wyprowadzenia symboli drugiego rodzajuEdytuj

1) Symbole Christoffela drugiego rodzaju   są zdefiniowane jako takie wielkości liczbowe, które spełniają równanie

 

gdzie   jest połączeniem Leviego-Civity obliczonym w kierunku wektora  

2) Symbole te można także wyprowadzić z warunku zerowania się pochodnych kowariantnych tensora metrycznego  

 

Przez permutację indeksów oraz sumowanie otrzymuje się wyrażenie symboli Christoffela w zależności od elementów tensora metrycznego – wzór podany na początku tego rozdziału.

Notacja skróconaEdytuj

W notacji skróconej symbole   oraz symbole pochodnych cząstkowych   są zastępowane symbolami   oraz   Np.

 

Symbole Christoffela dla 4-wymiarowej czasoprzestrzeniEdytuj

W ogólnej teorii względności czasoprzestrzeń jest traktowana jako 4-wymiarowa rozmaitość pseudoriemannowska. Symbole Christoffela oblicza się według takich samych wzorów, jak podano wyżej, przy czym indeksy współrzędnych numeruje się tradycyjnie liczbami  

Symbole Christoffela są tu wielkościami analogicznymi do natężeń pól grawitacyjnych teorii grawitacji Newtona. Wybór układu współrzędnych związanego z obserwatorem swobodnie spadającym w polu grawitacyjnym powoduje zerowanie się symboli Christoffela dla punktów w pobliżu początku układu współrzędnych[1] (w układach tych ciała są w stanie nieważkości).

Przykład – współrzędne biegunoweEdytuj

Liczenie wektorów bazyEdytuj

Obliczymy wektory bazowe dla układu współrzędnych biegunowych  

Tutaj   Między tymi współrzędnymi a współrzędnymi kartezjańskimi   (  oznacza teraz współrzędną kartezjańską, nie punkt w rozmaitości) zachodzą związki:

 
 

Wektory bazy   mają postać:

 
 

Długości wektorów bazy wynoszą:

  gdzie  iloczyn skalarny wektora  
 

Widać, że długość wektora   rośnie proporcjonalnie do   – nie jest to wektor jednostkowy! Fakt ten jest słuszny w ogólności, gdy wektory bazy są liczone za pomocą wyżej podanego wzoru. Stąd m.in. wynika zmiana współrzędnych wektorów pola wektorowego podczas przemieszczania się z danego punktu do innego punktu, w szczególności infinitezymalnie oddalonego – gdyby pole wektorowej było stałe np. wzdłuż osi ox, to oddalenie się od początku układu wzdłuż tej osi spowodowałoby zmniejszanie się współrzędnej wektora pola ze względu na wydłużenie się wektora bazy.

Liczenie tensora metrycznegoEdytuj

Obliczamy iloczyny skalarne  

 
 
 
 

co w postaci macierzowej wygląda tak:

 

Tensor kontrawariantny otrzymamy licząc macierz odwrotną do macierzy elementów  

 

Liczenie symboli Christoffela 2-go rodzajuEdytuj

Mając tensor metryczny obliczamy z wzoru wartości symboli Christoffela

 

przy czym w liczeniu każdego symbolu   – ze względu na użytą w zapisie konwencję sumacyjną Einsteina.

Ponieważ   dla   to upraszcza znacznie obliczenia. Otrzymamy:

 
 

Pozostałe symbole zerują się, tj. 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj