Otwórz menu główne
AC=CB

Symetralna odcinkaprosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jego środek.

Równoważnie – prosta będąca zbiorem punktów równo oddalonych od obu końców odcinka. Poprawność drugiej definicji wynika z twierdzenia mówiącego, że taki zbiór punktów faktycznie tworzy prostą.

Symetralna jest jedną z dwóch osi symetrii odcinka.

Konstrukcja symetralnejEdytuj

 
Konstrukcja symetralnej odcinka

Niech dany będzie odcinek   Aby skonstruować cyrklem i linijką symetralną tego odcinka należy:

  1. Zakreślić cyrklem dwa okręgi o środkach w punktach   oraz   o identycznym promieniu większym od połowy długości odcinka   Okręgi te przetną się w dwóch różnych punktach.
  2. Poprowadzić prostą przez wyznaczone punkty przecięcia okręgów.

Wyznaczona prosta jest szukaną symetralną.

Uwaga

Powyższa konstrukcja jest również stosowana do wyznaczenia środka odcinka ponieważ punkt przecięcia symetralnej z odcinkiem jest właśnie tym środkiem.

Symetralna w geometrii analitycznejEdytuj

Równanie symetralnejEdytuj

Weźmy w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie odcinek o końcach    

Wówczas symetralną odcinka   jest prosta o równaniu:

 

Równanie wektoroweEdytuj

Weźmy na płaszczyźnie trzy punkty  

Punkt   leży na symetralnej odcinka   wtedy i tylko wtedy, jeśli  

Rzeczywiście:  

Bo   oraz  

Podobnie dla równania  

Twierdzenie o symetralnych boków trójkątaEdytuj

Symetralne boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Dowód 1 (geometryczny)Edytuj

Niech dany będzie trójkąt  

Jeśli   jest punktem przecięcia symetralnych boków   i   to   oraz  

Stąd   co oznacza, że punkt   leży na symetralnej boku  

Dowód 2 (wektorowy)Edytuj

Niech   będzie przecięciem symetralnych boków   i  

 

 

Skorzystaliśmy z równania wektorowego symetralnej.

Zgodnie z twierdzeniem cosinusów  

więc   tzn.   co zgodnie z równaniem wektorowym oznacza, że punkt   leży na symetralnej boku  

WnioskiEdytuj

  • Punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
  • Na każdym trójkącie można opisać okrąg.

UwagaEdytuj

Dla wielokątów mamy ogólną własność: przecinanie się symetralnych wszystkich boków wielokąta w jednym punkcie jest równoważne istnieniu okręgu opisanego.

Symetralne w geometriach nieeuklidesowychEdytuj

Pojęcie symetralnej oparte jest na pojęciu prostopadłości i przystawania (w klasycznym ujęciu także prostopadłość sprowadza się do przystawania). Ponieważ w geometrii hiperbolicznej i eliptycznej istnieje pojęcie przystawania, można więc także w nich używać symetralnych.

W geometrii hiperbolicznej każdy odcinek ma dokładnie jedną symetralną. Rzecz komplikuje się, gdy rozpatrzyć symetralne boków trójkąta. Mogą zajść trzy przypadki:

  • Symetralne trzech boków przecinają się w jednym punkcie. Wierzchołki trójkąta wyznaczają dokładnie jeden okrąg opisany.
  • Symetralne są elementami pęku prostych równoległych – zbiegają się we wspólnym punkcie w „nieskończoności”. Wierzchołki trójkąta nie wyznaczają okręgu opisanego, ale horycykl.
  • Symetralne są rozbieżne – mają wspólną prostopadłą. Wierzchołki trójkąta wyznaczają ekwidystantę.

Jak widać, są tutaj trójkąty nie wyznaczające żadnego okręgu opisanego.

W geometrii eliptycznej jest jeszcze inaczej. Ponieważ każdy odcinek (rozumiany jako para różnych punktów) ma dwie symetralne (wzajemnie prostopadłe), więc na każdym trójkącie (rozumianym jako trójka niewspółliniowych punktów) można opisać cztery różne okręgi.

Podsumowując, geometria euklidesowa (paraboliczna) wyróżnia się tym, że na każdym trójkącie można opisać tylko jeden okrąg. W niektórych ujęciach aksjomatyki powyższe własność jest równoważna aksjomatowi Euklidesa.