Szereg potęgowy

Szereg potęgowy – szereg funkcyjny postaci:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n},$

gdzie stała $a$ zwana środkiem szeregu i współczynniki $a_{n}$ są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Zmienna $x$ również może być rzeczywista lub zespolona.

Zbieżność

Okazuje się, że szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich liczb należących do pewnego koła otwartego $\{x:|x-a|<r\}$ o środku w punkcie $a$ i rozbieżny poza jego domknięciem. Koło to nazywamy kołem zbieżności szeregu, a jego promień (promień zbieżności) $r$ określony jest wzorem:

$r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}.$

Powyższy wzór należy rozumieć następująco:

• jeśli $\limsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\infty ,$ to $r=0$ i szereg jest zbieżny jedynie dla $x=a,$
• jeśli natomiast $\limsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=0,$ to $r=\infty$ i szereg jest zbieżny dla wszystkich $x.$

Inny wzór na promień zbieżności szeregu:

$r={\frac {1}{\lim \limits _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}}.$

Ostatni wzór jest najwygodniejszy w użyciu, lecz można go stosować jedynie wtedy, gdy występująca tam granica istnieje.

Szereg potęgowy jest jednostajnie zbieżny na dowolnym zwartym podzbiorze koła zbieżności.

Wynika stąd natychmiast, że szereg potęgowy przedstawia funkcję ciągłą wewnątrz koła zbieżności. Dwa szeregi przedstawiają tę samą funkcję wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe wszystkie współczynniki przy tych samych potęgach dwumianu $(x-a).$

Problem zbieżności szeregu potęgowego na brzegu koła zbieżności jest subtelny i nie daje się rozwiązać w przypadku ogólnym. Hugo Steinhaus podał przykład szeregu, który przedstawia funkcję nieciągłą w zbiorze wszędzie gęstym w brzegu koła.

Działania na szeregach potęgowych

Niech szeregi

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\;{}$ i

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}$

będą zbieżne w swoich kołach zbieżności.

Dodawanie i odejmowanie

Przy powyższych oznaczeniach funkcję

$u\cdot f(x)+v\cdot g(x)$ przedstawiał będzie szereg:

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-a)^{n}$ zbieżny w mniejszym z kół zbieżności.

Mnożenie i dzielenie

Iloczynem Cauchy’ego określonych wyżej szeregów nazywamy szereg

$\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}(x-a)^{n}.$

Dla argumentów z mniejszego koła zbieżności szereg jest zbieżny bezwzględnie i kolejność sumowania wyrazów nie ma znaczenia, dlatego powyższą sumę można też zapisać jako:

$=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-a)^{i+j}.$

Zauważmy teraz, że w przypadku dzielenia szeregów (tam gdzie jest ono wykonalne) mamy:

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}.$

Dla wyznaczenia współczynników $c_{n}$ wystarczy napisać

$f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}\right),$

skąd przez wymnożenie, porównanie współczynników szeregów po obu stronach i wykorzystanie ich jednoznaczności otrzymamy $c_{n}.$

Całkowanie i różniczkowanie

Z własności szeregu potęgowego wynika bezpośrednio (patrz: szereg funkcyjny), że jego suma jest funkcją różniczkowalną i całkowalną w sensie Riemanna we wnętrzu koła zbieżności tego szeregu. Co więcej, zarówno pochodną, jak i całkę tej funkcji można otrzymać różniczkując lub całkując szereg wyraz po wyrazie:

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\right)'=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-a)^{n-1}$

oraz

$\int \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-a)^{n+1}}{n+1}}+C.$

Obydwa szeregi po prawej stronie równości są zbieżne w tym samym kole zbieżności co szereg wyjściowy.

Funkcje analityczne

Z szeregami potęgowymi zmiennej zespolonej ściśle związane są funkcje analityczne. Każda funkcja analityczna daje się lokalnie – czyli w pewnym otoczeniu dowolnego punktu swej dziedziny – przedstawić szeregiem potęgowym i na odwrót, każdy szereg potęgowy jest funkcją analityczną we wnętrzu swego koła zbieżności. Klasa funkcji analitycznych w pewnym obszarze tworzy pierścień, to znaczy suma i iloczyn funkcji analitycznych jest również funkcją analityczną. Iloraz funkcji analitycznych jest funkcją analityczną o ile mianownik nie przyjmuje w danym obszarze wartości zerowych.

Każda zespolona funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w swej dziedzinie, a współczynniki $a_{n}$ jej rozwinięcia w szereg w otoczeniu dowolnego punktu $z_{0}$ są dane wzorem:

$a_{n}={\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}},$

gdzie $f^{(n)}(z_{0})$ oznacza $n$-tą pochodną $f$ w punkcie $z_{0}.$ Oznacza to, że każda funkcja analityczna daje się lokalnie przedstawić swoim szeregiem Taylora.

Powyższe uwagi nie dotyczą funkcji zmiennej rzeczywistej – tutaj funkcja, która jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna może nie dać przedstawić się szeregiem potęgowym.

Zauważmy też, że jeśli dwie funkcje analityczne zmiennej zespolonej są określone w tym samym obszarze, a ich wszystkie pochodne są równe w pewnym punkcie tego obszaru, to obie funkcje są sobie równe w całym obszarze.

Formalne szeregi potęgowe

Pojęcie szeregu potęgowego zostało przeniesione do algebry pod postacią formalnego szeregu potęgowego nad danym ciałem. Ich badanie ma wielkie znaczenie dla kombinatoryki, gdzie występują pod postacią funkcji tworzących.

Szereg potęgowy wielu zmiennych

Kolejnym uogólnieniem teorii szeregów potęgowych jednej zmiennej jest teoria szeregów wielu zmiennych. Szereg potęgowy wielu zmiennych definiujemy następująco:

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},$

gdzie $j=(j_{1},\dots ,j_{n})$ jest układem liczb naturalnych, współczynniki $a_{(j_{1},\dots ,j_{n})}$ są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a $c=(c_{1},\dots ,c_{n})$ oraz $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ są punktami $n$-wymiarowej rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni euklidesowej.