Tensor krzywizny Riemanna

Tensor krzywizny Riemanna lub tensor Riemanna-Christoffela – najpowszechniejsza forma wyrażania krzywizny rozmaitości riemannowskich. Łączy tensor z każdym punktem na rozmaitości Riemanna (pole tensorowe), mierzy stopień w jakim tensor metryczny nie jest lokalnie izometryczny do przestrzeni euklidesowej. Tensor krzywizny może być także zdefiniowany dla rozmaitości pseudoriemannowskiej lub każdej rozmaitości wyposażonej w połączenie afiniczne.

Stanowi główne narzędzie matematyczne w ogólnej teorii względności, nowoczesnych teoriach grawitacji, krzywizny czasoprzestrzeni. Tensor krzywizny reprezentuje siły pływowe, których doświadcza sztywne ciało poruszające się wzdłuż linii geodezyjnej czasoprzestrzeni w sensie sprecyzowanym przez równanie Jacobiego.

Tensor krzywizny otrzymujemy w terminologii połączenia Leviego-Civity przez formułę:

gdzie to nawias Liego pól wektorowych. Dla każdej pary wektorów stycznych istnieje liniowa transformacja przestrzeni stycznej rozmaitości. Jest liniowa w i oraz definiuje tensor. Czasami tensor krzywizny jest zdefiniowany z przeciwnym znakiem.

Formułę powyższą można też wyrazić używając pojęcia drugiej pochodnej kowariantnej:

która jest także liniowa w i Wówczas:

Tensor krzywizny połączenia Levi-Civity mierzy więc nieprzemienność drugiej pochodnej kowariantnej. Jego nieznikanie stanowi przeszkodę dla istnienia izometrii z przestrzenią euklidesową (nazywaną w tym przypadku płaską).

Liniowa transformacja jest również nazywana transformacją (lub endomorfizmem) krzywizny.

Zobacz też

edytuj

Bibliografia

edytuj
  • A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN 1965.
  • S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of differential geometry, Volume 1, Interscience 1963.
  • E. Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications 1991.
  • R. M. Wald, General relativity, The University of Chicago Press 1984.