Otwórz menu główne
Spacer.gif W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Tensor metrycznytensor drugiego rzędu (o dwóch indeksach), symetryczny, charakterystyczny dla danego układu współrzędnych. Jest podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej, znajduje zastosowanie np. w elektrodynamice, w ogólnej teorii względności i innych teoriach, korzystających z geometrii różniczkowej.

Tensor metryczny można zdefiniować na dwa sposoby:

  • za pomocą iloczynu skalarnego,
  • za pomocą elementu liniowego.

W artykule opisano oba sposoby.

Spis treści

Wektory bazoweEdytuj

Niech   oznaczają współrzędne (na ogół współrzędne krzywoliniowe) zdefiniowane na rozmaitości   przy czym   jest wymiarem rozmaitości. Wektory styczne do linii współrzędnych oblicza się ze wzoru

 

gdzie   jest wektorem wodzącym punktu na rozmaitości. Wektory te definiują lokalną bazę, określoną dla przestrzeni stycznej   w punkcie   rozmaitości   (Odtąd będziemy skrótowo mówić „punkt  ” zamiast „punkt o wektorze wodzącym  ”. Zauważmy jednak, że wektor wodzący zależy od przyjętego początku układu współrzędnych, punkt zaś jest niezależnym od tego wyboru elementem rozmaitości.) Dla każdego punktu rozmaitości da się określić lokalną, unikalną bazę.

Tensor metrycznyEdytuj

Niech dana będzie n-wymiarowa rozmaitość różniczkowa   ze zdefiniowanym w niej iloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny jest symetrycznym, dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym[1]   gdzie   lub   (ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Tensor metryczny rozmaitości definiuje się poprzez iloczyny skalarne wektorów bazy układu współrzędnych (w ogólności współrzędnych krzywoliniowych), tj.:

 

Tensor ten ma więc   elementów. Jest to postać kowariantna (o dolnych indeksach) tensora.

Postać kontrawariantną (o górnych indeksach) otrzymuje się jako macierz odwrotną z macierzy   czyli:

 

Współrzędne   tensora metrycznego są więc równe iloczynom skalarnym wektorów bazowych   lokalnego układu współrzędnych[2].

Obniżanie/podnoszenie wskaźnikówEdytuj

Aby obniżyć wskaźniki dowolnego wektora trzeba pomnożyć go przez tensor metryczny  

 

– przy czym sumuje się po powtarzającym się indeksie  

Aby podwyższyć wskaźniki, trzeba wykorzystać tensor  

 

Iloczyn skalarny dowolnych wektorówEdytuj

Iloczyn skalarny dowolnych dwóch wektorów wyraża się przez tensor metryczny i współrzędne wektorów w jeden z trzech równoważnych sposobów:

  •  
  •  
  •  

gdzie:

 tensor metryczny,
 współrzędne kontrawariantne (o górnych indeksach) wektorów  
 współrzędne kowariantne (o dolnych indeksach) wektorów  

Dla przestrzeni euklidesowej mamy:     Wtedy współrzędne kowariantne równe są kontrawariantnym oraz

 

Dowód:

  •   – wartość iloczynu skalarnego wektorów bazy  
  •     – zapis wektorów   w bazie  

Stąd otrzymamy:

 

Stosując konwencję sumacyjną oraz zasady podwyższania/obniżania wskaźników otrzymamy:

  c.n.d.

Definicja tensora metrycznego przez element liniowyEdytuj

(1) Niech będą dane dwa układy współrzędnych w n-wymiarowej rozmaitości różniczkowej:

  • kartezjański  
  • krzywoliniowy  

(2) Definiujmy element liniowy jako[3]

 

(3) Można przejść od układu współrzędnych kartezjańskich do układu współrzędnych krzywoliniowych za pomocą transformacji:

 

gdzie   – funkcje wyrażające współrzędne kartezjańskie przez krzywoliniowe.

(4) Jeżeli każda funkcja   ma ciągłe pochodne względem wszystkich swoich argumentów, to ze wzoru na różniczkę zupełną otrzymamy

 

(5) Wstawiając te różniczki do wzoru na element liniowy otrzymamy

 

(6) Tensorem metrycznym nazywa się występujące w powyższym wzorze wielkości[4]

 

(7) Wzór na element liniowy we współrzędnych krzywoliniowych przyjmie postać (przy czym zmieniono nazwy indeksów sumacyjnych)

 

(8) Stosując konwencję sumacyjną Einsteina, otrzymuje się uproszczony zapis

 

(9) Uwaga:

Powyżej wyprowadzony wzór na tensor metryczny

 

jest równoważny definicji tensora metrycznego za pomocą iloczynów skalarnych wektorów bazy

 

Dowód:

Korzystając z definicji wektorów   i rozkładając je w bazie kartezjańskiej mamy

 
 

gdzie   – wersory układu kartezjańskiego, takie że   Mnożąc powyższe wyrażenia przez siebie otrzyma się

 

przy czym w ostatnim wzorze wykorzystano ortogonalność bazy kartezjańskiej, cnd.

Iloczyn skalarny wektora Edytuj

Tensor metryczny pozwala obliczyć iloczyn skalarny dowolnych wektorów. W szczególności obliczymy iloczyn skalarny wektora nieskończenie małego przesunięcia. Niech:

  •   – wektor bazy układu współrzędnych w kierunku współrzędnej  [1],
  •   – wektor nieskończenie małego przesunięcia w przestrzeni zapisany w tej bazie.

Ponieważ   to kwadrat długości wektora   wynosi:

 
 

Korzystając z konwencji sumacyjnej Einsteina mamy ostatecznie:

 

Własności tensora metrycznegoEdytuj

SymetrycznośćEdytuj

(1) Tensor metryczny definiuje się tak, że jest on zawsze symetryczny, tj.

 

Jest to możliwe, gdyż w wyrażeniu   dla każdej pary wskaźników   mamy sumę dwóch wyrazów:

  =  

Gdyby   to można dokonać symetryzacji przyjmując nowe wartości  

(2) Ponieważ tensor o górnych wskaźnikach otrzymuje się dokonując obliczenia macierzy odwrotnej do macierzy   to implikuje to natychmiast, że tensor   jest symetryczny, tj.

 

Symetria góra-dółEdytuj

Z tensora   można otrzymać tensory   oraz   odpowiednio przez podwyższenie pierwszego lub drugiego wskaźnika:

 
 

Ponieważ tensory   oraz   są symetryczne, to   i z powyższych dwóch wzorów otrzymamy:

 

co oznacza, że istnieje symetria związaną z zamianą wskaźników góra-dół na dół-góra tensora metrycznego.

„Diagonalność” i współczynniki LamegoEdytuj

Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować wtedy można współczynniki Lamego:

  (nie ma sumowania).

Przykłady tensorów metrycznychEdytuj

Układ kartezjański 3DEdytuj

Element liniowy 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach, translacjach, odbiciach układu współrzędnych, tj. odległości punktów   i   obliczone w danym układzie i po dokonaniu transformacji

 

oraz

 

będą identyczne. Z tego względu   stanowi niezmiennik geometrii. Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:

 

Można pokazać, że dowolna transformacja z wyżej wymienionych, np. obrót układu współrzędnych, nie zmienia tensora metrycznego.

Układ kartezjański n-wymiarowyEdytuj

Element liniowy n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach i translacjach układu współrzędnych, tj.

 

Stąd tensor metryczny ma postać diagonalną:

 

gdzie:

 delta Kroneckera.

Z postaci tego tensora wynika też, że w n-wymiarowym układzie kartezjańskim współrzędne kontra- i kowariantne są takie same.

Czasoprzestrzeń płaska (4D)Edytuj

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni (opisywanej przez szczególną teorię względności) interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Niezmienniczość ta jest konsekwencją postulatu Einsteina o identyczności prędkości światła we wszystkich układach nieinercjalnych i stanowi punkt wyjścia teorii względności: mierząc odległości czasowe i przestrzenne impulsu światła, rozchodzącego się między danymi dwoma obiektami w danym układzie i układzie poruszającym się otrzymamy identyczne wartości, tj. jeśli w dwóch poruszających się względem siebie układach obliczy się interwały

 
 

to wyniki te będą identyczne, tj.

 

mimo że wielkości   oraz   w ogólności będą się różnić. Fakt, iż powyższa wielkość jest niezmiennikiem implikuje, że geometria rzeczywistego świata fizycznego jest geometrią nieeuklidesową: czas i przestrzeń wiążą się ze sobą nierozerwalnie w czasoprzestrzeń, wielkość   stanowi element liniowy geometrii czasoprzestrzeni, niezmienniczy względem transformacji Lorentza.

Wektor położenia punktu w czasoprzestrzeni – to 4-wektor, mający współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne. W mechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać 4-wektory i tensory za pomocą indeksów greckich, np.  

Stosując tę konwencję przyjmuje się następujące indeksowanie współrzędnych:   Wtedy niezmiennik przyjmie postać:

 

Z postaci niezmiennika   natychmiast wynika postać tensora metrycznego:

 

Tensor ten implikuje, że 4-wymiarowa czasoprzestrzeń (przestrzeń Minkowskiego) jest przestrzenią płaską (niezakrzywioną). Nie jest to jednak przestrzeń euklidesową, ze względu na przeciwne znaki przy trzech współrzędnych (przestrzennych) w relacji do współrzędnej czasowej. Przestrzeń taką nazywa przestrzenią pseudoeuklidesową.

Czasoprzestrzeń zakrzywiona (4D)Edytuj

W ogólnej teorii względności rozważa się inne tensory metryczne opisujące zakrzywienie przestrzeni, np. dla metryki Schwarzschilda we współrzędnych   tensor ten ma postać:

 

Współrzędne sferyczne (3D)Edytuj

Współrzędne sferyczne   są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:

 

Aby obliczyć tensor metryczny kowariantny w układzie współrzędnych sferycznych można

1) albo obliczyć najpierw bazę wektorów stycznych   do krzywych współrzędnych, a następnie obliczyć ich iloczyny skalarne

2) albo wykorzystać bezpośrednio wzór   przyjmując

 
oraz
 

Z obliczeń otrzyma się:

 

Tensor metryczny kontrawariantny otrzyma się obliczając macierz odwrotną do macierzy   (co jest trywialne, gdyż   jest macierzą diagonalną – wystarczy odwrócić wyrazy na diagonali):

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • James B. Hartle: Grawitacja. Wprowadzenie do ogólnej teorii względności Einsteina. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-2350476-4.
  • P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1958.
  • John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.