Teoria charakterów

funkcją która przyporządkowuje elementom grupy ślad macierzy w danej reprezentacji

W matematyce, konkretniej w teorii grup, charakter jest funkcją która przyporządkowuje elementom grupy ślad macierzy w danej reprezentacji. Dla macierzy nad ciałami algebraicznie domkniętymi o charakterystyce zero charakter jednoznacznie identyfikuje reprezentacje. Dodatkowo pozwala na prostą obliczeniową weryfikację przywiedlności reprezentacji.

DefinicjeEdytuj

Niech   będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem   i niech   będzie reprezentacją grupy   na   Charakterem reprezentacji   jest funkcja   dana przez:

 

gdzie   jest śladem macierzy.

O charakterze mówimy, że jest nieprzywiedlny, jeśli reprezentacja jest nieprzywiedlna. Rzędem charakteru nazywamy wymiar reprezentacji, z której został utworzony.

WłasnościEdytuj

  • Charakter jest funkcją klas sprzężoności, tj. jeśli   to  
  • Izomorficzne reprezentacje mają równe charaktery.
  • Jeśli reprezentacja jest sumą prostą pewnych reprezentacji, to jej charakter jest sumą charakterów tych reprezentacji.

Tablice charakterówEdytuj

Tablica nieprzywiedlnych zespolonych charakterów jest kwadratowa i zawiera wiersze odpowiadające nieprzywiedlnym reprezentacjom grupy i kolumny odpowiadające klasom sprzężoności. Takie tablice posiadają wiele algebraicznych własności, które pozwalają na rekonstrukcję całej tablicy, posiadając tylko część (czasem bardzo małą) informacji.

Poniżej umieszczona jest tablica charakterów dla grupa alternującej na pięciu elementach.

Reprezentant klasy 
         
Wielkość klasy 
Opis reprezentacji
1 15 20 12 12
trywialna 1 1 1 1 1
część restrykcji kwadratu standardowej 3 –1 0    
część restrykcji kwadratu standardowej 3 –1 0    
restryckcja standardowej 4 0 1 –1 –1
piecio-wymiarowa nieprzywiedlna 5 1 –1 0 0

Na podstawie tej tabeli można na przykład stwierdzić, że   jest grupą prostą.

Pierwszy wiersz tabeli charakterów zawsze odpowiada reprezentacji trywialnej danej przez trywialny homomorfizm  

Relacje ortogonalnościEdytuj

Przestrzeń funkcji zespolonych o dziedzinie klas sprzężoności posiada naturalny iloczyn skalarny postaci:

 

gdzie:   to sprzężenie zespolone   Względem tego iloczynu skalarnego charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych tworzą ortonormalną bazę, wynika z tego analogiczna relacja dla wierszy tabeli:

 

gdzie:   to delta Kroneckera.

Dla   relacja ortogonalności dla kolumn przybiera formę:

 

gdzie suma przebiega po wszystkich charakterach nieprzywiedlnych reprezentacji   a   to wielkość centralizatora (równa ilorazowi rzędu grupy i wielkości klasy).

Relacje ortogonalności często pomagają w obliczeniach:

  • rozkładu charakteru na kombinacje liniowa charakterów nieprzywiedlnych,
  • konstruowaniu pełnej tabeli charakterów kiedy tylko część jest znana.

Dodatkowe własności algebraiczneEdytuj

  • Zgodnie z relacją ortogonalności suma kwadratów rzędów charakterów jest rzędem grupy.
  • Wszystkie podgrupy normalne można bezpośrednio odczytać z tabeli charakterów: jądro charakteru to zbiór elementów, dla których   Każde takie jądro jest podgrupą normalną, dodatkowo każda podgrupa normalna jest przecięciem jąder pewnych charakterów nieprzywiedlnych.
  • Komutant jest przecięciem jąder jednowymiarowych charakterów.

Okazuje się niestety, że mimo iż charakter jednoznacznie wyznacza reprezentacje danej grupy, tabela charakterów nie wyznacza jednoznacznie grupy. Przykładem dwóch grup o takiej samej tabeli charakterów mogą być  grupa kwaternionów oraz  grupa diedralna o 8 elementach.

BibliografiaEdytuj