Teoria punktów stałych
Teoria punktów stałych – dział matematyki zajmujący się równaniami postaci f(x)=x, gdzie f jest pewną funkcją. Podstawowe zagadnienie tej teorii to pytanie, przy jakich założeniach o zbiorze X i o funkcji powyższe równanie ma rozwiązanie, zwane punktem stałym. Bada się też własności zbiorów jego rozwiązań.
L.E.J. Brouwer (1881–1966)
Stefan Banach (1892–1945)
Bronisław Knaster (1893–1980)
Juliusz Schauder (1899–1943)
Alfred Tarski (1901–1983)
Problem ten ma wiele wariantów, gdyż:
- rozważana dziedzina może mieć najróżniejsze struktury – może to być np. przestrzeń topologiczna, metryczna lub zbiór uporządkowany;
- rozważana funkcja może mieć najróżniejsze własności – może być ciągła, zwężająca lub monotoniczna;
- funkcja f może działać z pewnego podzbioru w całą przestrzeń; zob. np. alternatywa Leraya-Schaudera dla przestrzeni Banacha.
Przez to teoria punktów stałych przenika się z innymi dyscyplinami jak analiza, topologia czy teoria porządku.
Udowodniono szereg twierdzeń o punkcie stałym – o istnieniu takich argumentów dla pewnych funkcji. Pierwsze z nich ogłoszono najpóźniej na początku XX wieku; przykładowo z 1910 roku pochodzi twierdzenie Brouwera[1]. Podano też twierdzenia mówiące, że to zbiór ma własność punktu stałego w sensie topologii; przykład to twierdzenie Schaudera-Tichonowa. W latach 20. XXI wieku istnieje osobne czasopismo poświęcone takim zagadnieniom[2].
Miejsce wśród innych dyscyplin
edytujTeoria punktów stałych nie jest osobną kategorią w spisie MSC 2020, jednak są w nim działy zawierające w nazwie punkty stałe, m.in. w sekcjach:
- 32: Several complex variables and analytic spaces,
- 32H: Holomorphic mappings and correspondences,
- 37: Dynamical systems and ergodic theory,
- 37C: Smooth dynamical systems: general theory,
- 37J: Dynamical aspects of finite-dimensional Hamiltonian and Lagrangian systems,
- 47: Operator theory,
- 54: General topology,
- 55: Algebraic topology,
- 55M: Classical topics in algebraic topology,
- 58: Global analysis, analysis on manifolds[3].
Przypisy
edytuj- ↑ L.E.J. Brouwer, Ueber eineindeutige, stetige Transformationen von Flächen in sich, „Math. Ann.”, 69 (1910), s. 176–180.
- ↑ Journal of Fixed Point Theory and Applications, springer.com [dostęp 2023-08-25].
- ↑ 2020 Mathematics Subject Classification (ang.), mathscinet.ams.org [dostęp 2023-08-25].
Literatura
edytuj- Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory, Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-00173-5.
- Ravi P. Agarwal, Maria Meehan, Donal O'Regan, Fixed Point Theory and Applications, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-051154300-5.