Test Kołmogorowa-Smirnowa

nieparametryczny test statystyczny

Test Kołmogorowa-Smirnowatest nieparametryczny używany do porównywania rozkładów jednowymiarowych cech statystycznych. Istnieją dwie główne wersje tego testu – dla jednej próby i dla dwóch prób.

Test dla jednej próby (zwany też testem zgodności λ Kołmogorowa) sprawdza, czy rozkład w populacji dla pewnej zmiennej losowej, różni się od założonego rozkładu teoretycznego, gdy znana jest jedynie pewna skończona liczba obserwacji tej zmiennej (próba statystyczna). Często wykorzystywany jest on w celu sprawdzenia, czy zmienna ma rozkład normalny. Dla celów testowania normalności zostały dokonane w teście drobne usprawnienia, znane jako test Lillieforsa.

Istnieje też wersja testu dla dwóch prób, pozwalająca na porównanie rozkładów dwóch zmiennych losowych. Jego zaletą jest wrażliwość zarówno na różnice w położeniu, jak i w kształcie dystrybuanty empirycznej porównywanych próbek.

Statystyka Kołmogorowa-SmirnowaEdytuj

Dystrybuanta empiryczna   dla n-elementowej próby jest zdefiniowana jako funkcja:

 

gdzie:

  •   to wartość zmiennej   dla  -tej obserwacji.
  •   to funkcja charakterystyczna (tu: przyjmująca wartość jeden gdy   i zero w przeciwnym wypadku).

Statystyka Kołmogorowa-Smirnowa dla danej dystrybuanty teoretycznej   jest dana wzorem:

 

Na mocy twierdzenia Gliwenki-Cantellego, jeśli próba pochodzi z rozkładu o dystrybuancie   to   dąży prawie wszędzie do zera. Kołmogorow wzmocnił ten wynik stwarzając efektywną metodę oceny tej zbieżności (zobacz niżej). Twierdzenie Donskera dostarcza jednak jeszcze silniejszego wyniku.

Rozkład KołmogorowaEdytuj

Rozkład Kołmogorowa to rozkład zmiennej losowej

 

gdzie   jest mostem Browna. Dystrybuanta   jest dana przez

 

Test dla jednej próbyEdytuj

W warunkach hipotezy zerowej, gdy próba pochodzi z rozkładu teoretycznego   wówczas:

 

(zbieżność według rozkładu), gdzie   jest mostem Browna.

Jeśli   jest ciągła, wówczas w warunkach hipotezy zerowej   dąży do rozkładu Kołmogorowa, niezależnie od   Ten wynik znany jest też jako twierdzenie Kołmogorowa.

Test Kołmogorowa-Smirnowa jest konstruowany z użyciem obszaru krytycznego rozkładu Kołmogorowa.

Hipoteza zerowa jest odrzucana na poziomie   jeśli

 

gdzie   jest dane przez:

 

Asymptotyczna moc tego testu wynosi 1. Jeśli forma lub parametry   są wyznaczane z   nierówność może nie być prawdziwa. W tym przypadku konieczne jest zastosowanie metody Monte Carlo lub innych algorytmów.

Bardziej znaną formą tego testu jest:

 

Test dla dwóch próbEdytuj

Test Kołmogorowa-Smirnowa może być także użyty do sprawdzenia, czy dwa jednowymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa różnią się od siebie. W takim przypadku statystyką Kołmogorowa-Smirnowa jest:

 

a hipoteza zerowa jest odrzucana na poziomie   gdy

 

Przedział ufności dla kształtu dystrybuantyEdytuj

Chociaż test Kołmogorowa-Smirnowa jest zwykle używany do sprawdzania, czy dana dystrybuanta teoretyczna   opisuje rozkład populacji, z której wylosowano próbę o dystrybuancie empirycznej   jednak procedura może być odwrócona w celu uzyskania przedziału ufności dla samej funkcji   Wybierając wartość krytyczną dla statystyki testowej   taką, że   uzyskujemy pas o promieniu   wokół   który całkowicie zawiera   z prawdopodobieństwem  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • W.T. Eadie, D. Drijard, F.E. James, M. Roos, B. Sadoulet: Statistical Methods in Experimental Physics. Amsterdam: North-Holland, 1971, s. 269–271.
  • Alan Stuart, Keith Ord, Steven Arnold: Kendall’s Advanced Theory of Statistics. T. 2A. London: Arnold, a member of the Hodder Headline Group, 1999, s. 25.37–25.43.

Linki zewnętrzneEdytuj