Tożsamość Brahmagupty

Tożamość Brahmagupty, zwana również tożsamością Fibonacciego, stwierdza, że iloczyn dwóch sum dwóch kwadratów jest również sumą dwóch kwadratów. Oznacza to, że zbiór wszystkich sum dwóch kwadratów jest zamknięty ze względu na mnożenie:

(1)
(2)

Na przykład:

Tożsamość jest specjalnym przypadkiem tożsamości Lagrange’a, i po raz pierwszy pojawia się w dziełach Diofantosa. Brahmagupta udowodnił ogólniejszą równość, w równoważnej formie:

(3)
(4)

co pokazuje, że zbiór liczb postaci jest zamknięty ze względu na mnożenie.

Obie równości można udowodnić poprzez rozwinięcie obu stron równania. Równość (2) można uzyskać z (1), poprzez zmianę na

Równość zachodzi dla liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i ogólnie, dla dowolnego pierścienia przemiennego.

W przypadku całkowitym, tożsamość znajduje zastosowanie w teorii liczb; jeśli użyje się jej wraz z twierdzeniem Fermata o sumie dwóch kwadratów, można udowodnić, że iloczyn kwadratu i dowolnie wielu liczb pierwszych postaci jest sumą dwóch kwadratów.

HistoriaEdytuj

Tożsamość po raz pierwszy pojawia się w Arytmetyce Diofantosa (III, 19)[1]. Została ponownie odkryta przez Brahmaguptę (598–668), indyjskiego matematyka i astronoma, który uogólnił ją i używał do badań równań błędnie nazywanych równaniami Pella. Jego Brahmasphutasiddhanta została przetłumaczona z Sanskrytu na arabski przez Mohammada al-Fazariego, a potem na łacinę w 1126[2]. Tożsamość pojawia się później w książce Fibonacciego Liber quadratorum z 1225 roku.

Związek z liczbami zespolonymiEdytuj

Jeśli   i  liczbami rzeczywistymi, tożsamość równoważna jest multiplikatywności modułu w ciele liczb zespolonych:

 

Ponieważ

 

więc po podniesieniu obu stron do kwadratu,

 

i po zastosowaniu definicji modułu, otrzymamy:

 

Zastosowanie do rozwiązywania równań PellaEdytuj

Brahmagupta zastosował odkrytą tożsamość do rozwiązania konkretnego równania Pella:   Używając tożsamości w ogólniejszej postaci:

 

Brahmagupta był w stanie połączyć trójki   i   będące rozwiązaniami   aby otrzymać nową trójkę

 

Metoda ta nie tylko pozwoliła na otrzymanie nieskończenie wielu rozwiązań równania   przy użyciu tylko jednego rozwiązania, ale także na uzyskanie całkowitych, lub „prawie całkowitych” wyników, poprzez podzielenie otrzymanej trójki liczb przez   Ogólna metoda rozwiązywania równań Pella (tzw. metoda ćakrawala) została znaleziona przez Bhaskarę II w 1150 i bazowała ona na tożsamości Brahmagupty[3].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Thomas Little Heath: Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra. Cambridge University Press, 1910, s. 166.
  2. George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock, wyd. New ed, Princeton, N.J.: Princeton University Press, 2000, s. 306, ISBN 0-691-00659-8, OCLC 45031736.
  3. John Stillwell: Mathematics and its history. Wyd. 2. Springer, 2002, s. 72–76. ISBN 978-0-387-95336-6.