Tożsamość Brahmagupty

Tożsamość Brahmagupty – tożsamość algebraiczna, z której wynika, że iloczyn dwóch liczb postaci $a^{2}+nb^{2}$ również jest tej postaci. Innymi słowy, zbiór liczb postaci $a^{2}+nb^{2}$ jest zamknięty ze względu na mnożenie. Tożsamość Brahmagupty orzeka, że

${\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&&(1)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&&(2)\end{aligned}}$

Obie równości łatwo zweryfikować, podnosząc wszystkie wyrażenia do kwadratu i redukując wyrazy podobne.

Po przyjęciu w powyższym wzorze $n=1$ otrzymujemy tożsamość Fibonacciego, nazywaną także tożsamością Diofantosa. Stwierdza ona, że iloczyn dwóch liczb, z których każda jest sumą dwóch kwadratów, również jest sumą dwóch kwadratów

${\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.\end{aligned}}$

Tożsamość Fibonacciego stanowi szczególny przypadek tożsamości Lagrange’a $(n=2).$

Tożsamość Brahmagupty jest prawdziwa dla liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i ogólnie, dla dowolnego pierścienia przemiennego.

Tożsamość ta jest stosowana w teorii liczb, przy założeniu, że liczby $a,b,c,d$ i $n$ są całkowite. Wraz z twierdzeniem Fermata o sumie dwóch kwadratów jest używana do udowodnienia, że liczba całkowita jest sumą dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby pierwsze postaci $4k+3$ występują w jej rozkładzie na czynniki pierwsze z parzystym wykładnikiem.

Historia

Tożsamość po raz pierwszy pojawia się w Arytmetyce Diofantosa (III, 19). Została ponownie odkryta przez Brahmaguptę (598–668), indyjskiego matematyka i astronoma, który uogólnił ją i używał do badań równań błędnie nazywanych równaniami Pella. Jego Brahmasphutasiddhanta została przetłumaczona z Sanskrytu na arabski przez Mohammada al-Fazariego, a potem na łacinę w 1126. Tożsamość pojawia się później w książce Fibonacciego Liber quadratorum z 1225 roku.

Związek z liczbami zespolonymi

Jeśli $a,\ b,\ c,$ i $d$ są liczbami rzeczywistymi, tożsamość Fibonacciego jest równoważna multiplikatywności modułu w ciele liczb zespolonych:

$|a+bi|\ |c+di|=|(a+bi)(c+di)|$

Ponieważ

$|a+bi|\ |c+di|=|(ac-bd)+i(ad+bc)|,$

więc po podniesieniu obu stron do kwadratu,

$|a+bi|^{2}|c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2}$

i po zastosowaniu definicji modułu, otrzymamy:

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.$

Zastosowanie do rozwiązywania równań Pella

Brahmagupta zastosował odkrytą tożsamość do rozwiązania konkretnego równania Pella: $x^{2}-Ny^{2}=1.$ Używając tożsamości w ogólniejszej postaci:

$(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},$

Brahmagupta był w stanie połączyć trójki $(x_{1},y_{1},k_{1})$ i $(x_{2},y_{2},k_{2}),$ będące rozwiązaniami $x^{2}-Ny^{2}=k,$ aby otrzymać nową trójkę

$(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).$

Metoda ta nie tylko pozwoliła na otrzymanie nieskończenie wielu rozwiązań równania $x^{2}-Ny^{2}=1$ przy użyciu tylko jednego rozwiązania, ale także na uzyskanie całkowitych, lub „prawie całkowitych” wyników, poprzez podzielenie otrzymanej trójki liczb przez $k_{1}k_{2}.$ Ogólna metoda rozwiązywania równań Pella (tzw. metoda ćakrawala) została znaleziona przez Bhaskarę II w 1150 i bazowała ona na tożsamości Brahmagupty.

Zobacz też

• tożsamość Lagrange’a
• twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fibonacci Identity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].