Otwórz menu główne

Tożsamości trygonometryczne

lista w projekcie Wikimedia

Tożsamości pitagorejskieEdytuj

Osobny artykuł: jedynka trygonometryczna.

Wzór

 

jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej (a nawet zespolonej, przy przyjęciu ogólniejszych definicji). Tożsamość ta uznawana jest za podstawową tożsamość trygonometryczną. Zwana często jedynką trygonometryczną bądź trygonometrycznym twierdzeniem Pitagorasa. Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:

 
 

Okresowość funkcjiEdytuj

Funkcje trygonometryczne są okresowe  :

 

Definicje tangensa i cotangensaEdytuj

 
 

Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinusEdytuj

 
 
 

Przedstawienia przy pomocy funkcji sinusEdytuj

 
 
 

Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznychEdytuj

 

Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjamiEdytuj

Równości

 

nazywa się związkami pomiędzy funkcjami a ich kofunkcjami. Kofunkcją sinusa jest cosinus, cosinusa sinus, tangensa cotangens itd.

OdwrotnościEdytuj

Funkcje trygonometryczne można układać w pary według kofunkcji lub według odwrotności. Odwrotnością sinusa jest cosecans, cosinusa secans, tangensa cotangens (i oczywiście na odwrót):

 

Funkcje sumy i różnicy kątówEdytuj

 
 
Sinus i cosinus sumy kątów
 
 
Sinus i cosinus różnicy kątów
 
 
Tangens sumy kątów
 
Tangens różnicy kątów
 
Cotangens sumy kątów
 
 
Cotangens różnicy kątów


DowódEdytuj

Na mocy wzoru Eulera:   oraz   wymnożenie obu równości stronami daje:   Z drugiej strony, znów na mocy wzoru Eulera:   Porównanie części rzeczywistych i urojonych odpowiednich stron daje dwa pierwsze wzory. Dwa kolejne wynikają z poprzednich, jeżeli wyrazić   i   przez   i  


Funkcje wielokrotności kątówEdytuj

Wzory na dwukrotność kąta otrzymuje się przez podstawienie   we wzorach na funkcje sumy kątów.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ogólnie:

 
 
 
 
 

Funkcje kąta połówkowegoEdytuj

 
 
 
 
 
 

Suma i różnica funkcjiEdytuj

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Iloczyn w postaci sumyEdytuj

 
 
 
 
 
 
 

Potęgi w postaci sumyEdytuj

 
 
 
 
 
 
 
 

Funkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kątaEdytuj

 
 
 

Powyższe tożsamości znalazły zastosowanie w tzw. podstawieniu uniwersalnym, stosowanym przy obliczaniu całek typu   gdzie   jest funkcją wymierną zmiennych   Stosuje się podstawienie:

 
 
 

Wzory EuleraEdytuj

Osobny artykuł: Wzór Eulera.
 
 
 
 
 

Wzory te pozwalają łatwo przekształcać wyrażenia trygonometryczne, poprzez przejście na postać zespoloną (cztery ostatnie wzory), uproszczenie i powrót na postać trygonometryczną (pierwszy wzór).

Inne zależności między funkcjami trygonometrycznymiEdytuj

 

Wzór de Moivre’a

 

lub ogólniej:

 

Zobacz teżEdytuj