Tożsamości trygonometryczne
Tożsamości trygonometryczne – podstawowe zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.
Definicje
edytujFunkcje sinus i kosinus można definiować sobą nawzajem, przez wzór[1]:
Jest on znany jako jedynka trygonometryczna, a artykuł o niej podaje też dwie odmiany tej tożsamości. Oprócz tego za pomocą funkcji sinus i kosinus definiuje się tangens i kotangens[1]:
Okresowość funkcji
edytujFunkcje trygonometryczne są okresowe[1] – dla dowolnej liczby całkowitej
Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinus
edytujPrzedstawienia przy pomocy funkcji sinus
edytujParzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych
edytuj- sinus, tangens, cotangens i cosecans są funkcjami nieparzystymi
- cosinus i secans są funkcjami parzystymi
Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami
edytujRówności
nazywa się związkami pomiędzy funkcjami a ich kofunkcjami. Kofunkcją sinusa jest cosinus, cosinusa sinus, tangensa cotangens itd.
Odwrotności
edytujFunkcje trygonometryczne można układać w pary według kofunkcji lub według odwrotności. Odwrotnością sinusa jest cosecans, cosinusa secans, tangensa cotangens (i oczywiście na odwrót):
Funkcje sumy i różnicy kątów
edytuj-
Sinus i cosinus sumy kątów
-
Sinus i cosinus różnicy kątów
-
Tangens sumy kątów
-
Tangens różnicy kątów
-
Cotangens sumy kątów
-
Cotangens różnicy kątów
Funkcje wielokrotności kątów
edytujKąt podwojony
edytujSzczególny przypadek powyższych wzorów to wzory na funkcje kąta podwojonego. Źródło[4]:
Kąt potrojony
edytujŹródło[5]:
Kąt poczwórny
edytujŹródło[5]:
Wzory ogólne
edytujMożna je znaleźć przez rekurencyjne stosowanie wzorów na funkcje sumy kątów[5].
Funkcje kąta połówkowego
edytujŹródło[6]:
Suma i różnica funkcji
edytujDwóch funkcji trygonometrycznych
edytujFunkcji trygonometrycznej i jedynki
edytujIloczyn w postaci sumy
edytujIloczyny dwóch funkcji
edytujIloczyny trzech funkcji
edytujPotęgi w postaci sumy
edytujŹródło większości wzorów[10]:
Kwadraty
edytujSześciany
edytujCzwarte potęgi
edytujFunkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kąta
edytujPowyższe tożsamości znalazły zastosowanie w tzw. podstawieniu uniwersalnym, stosowanym przy obliczaniu całek typu gdzie jest funkcją wymierną zmiennych Stosuje się podstawienie:
Wzory Eulera
edytujWzory te pozwalają łatwo przekształcać wyrażenia trygonometryczne, poprzez przejście na postać zespoloną (cztery ostatnie wzory), uproszczenie i powrót na postać trygonometryczną (pierwszy wzór).
Inne zależności między funkcjami trygonometrycznymi
edytujlub ogólniej:
Przypisy
edytuj- ↑ a b c d e f funkcje trygonometryczne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-05-02] .
- ↑ Joanna Jaszuńska , Trygonometria obrazkowa, „Delta”, kwiecień 2014, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-10-30] .
- ↑ Eric W. Weisstein , Trigonometric Addition Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].
- ↑ Eric W. Weisstein , Double-Angle Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].
- ↑ a b c Eric W. Weisstein , Multiple-Angle Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].
- ↑ Eric W. Weisstein , Half-Angle Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].
- ↑ Zastosowanie wzorów na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych do dowodzenia tożsamości trygonometrycznych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-05-02].
- ↑ Eric W. Weisstein , Prosthaphaeresis Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].
- ↑ Eric W. Weisstein , Werner Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].
- ↑ Eric W. Weisstein , Trigonometric Power Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].
Linki zewnętrzne
edytuj- Paweł Lubowiecki, Funkcje trygonometryczne cz. IV Tożsamości trygonometryczne, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].