Tożsamości trygonometryczne

lista w projekcie Wikimedia

Tożsamości trygonometryczne – podstawowe zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.

Definicje

edytuj

Funkcje sinus i kosinus można definiować sobą nawzajem, przez wzór[1]:

 

Jest on znany jako jedynka trygonometryczna, a artykuł o niej podaje też dwie odmiany tej tożsamości. Oprócz tego za pomocą funkcji sinus i kosinus definiuje się tangens i kotangens[1]:

 
 
 

Okresowość funkcji

edytuj

Funkcje trygonometryczne są okresowe[1] – dla dowolnej liczby całkowitej    

 

Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinus

edytuj
 
 
 

Przedstawienia przy pomocy funkcji sinus

edytuj
 
 
 

Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych

edytuj
 

Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami

edytuj

Równości

 

nazywa się związkami pomiędzy funkcjami a ich kofunkcjami. Kofunkcją sinusa jest cosinus, cosinusa sinus, tangensa cotangens itd.

Odwrotności

edytuj

Funkcje trygonometryczne można układać w pary według kofunkcji lub według odwrotności. Odwrotnością sinusa jest cosecans, cosinusa secans, tangensa cotangens (i oczywiście na odwrót):

 

Funkcje sumy i różnicy kątów

edytuj

Źródła[1][2][3]:

 
 
 
 

Funkcje wielokrotności kątów

edytuj

Kąt podwojony

edytuj

Szczególny przypadek powyższych wzorów to wzory na funkcje kąta podwojonego. Źródło[4]:

 
 
 
 

Kąt potrojony

edytuj

Źródło[5]:

 
 
 
 

Kąt poczwórny

edytuj

Źródło[5]:

 
 
 
 

Wzory ogólne

edytuj

Można je znaleźć przez rekurencyjne stosowanie wzorów na funkcje sumy kątów[5].

 
 
 

Funkcje kąta połówkowego

edytuj

Źródło[6]:

 
 
 
 
 
 

Suma i różnica funkcji

edytuj

Dwóch funkcji trygonometrycznych

edytuj

Źródła[7][1][8]:

 
 
 
 
 
 
 

Funkcji trygonometrycznej i jedynki

edytuj
 
 
 
 

Iloczyn w postaci sumy

edytuj

Iloczyny dwóch funkcji

edytuj

Źródła[1][9]:

 
 
 

Iloczyny trzech funkcji

edytuj
 
 
 
 

Potęgi w postaci sumy

edytuj

Źródło większości wzorów[10]:

Kwadraty

edytuj
 
 
 
 

Sześciany

edytuj
 
 

Czwarte potęgi

edytuj
 
 

Funkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kąta

edytuj
 
 
 

Powyższe tożsamości znalazły zastosowanie w tzw. podstawieniu uniwersalnym, stosowanym przy obliczaniu całek typu   gdzie   jest funkcją wymierną zmiennych   Stosuje się podstawienie:

 
 
 

Wzory Eulera

edytuj
Osobny artykuł: Wzór Eulera.
 
 
 
 
 

Wzory te pozwalają łatwo przekształcać wyrażenia trygonometryczne, poprzez przejście na postać zespoloną (cztery ostatnie wzory), uproszczenie i powrót na postać trygonometryczną (pierwszy wzór).

Inne zależności między funkcjami trygonometrycznymi

edytuj
 

Wzór de Moivre’a

 

lub ogólniej:

 

Przypisy

edytuj
  1. a b c d e f funkcje trygonometryczne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-05-02].
  2. Joanna Jaszuńska, Trygonometria obrazkowa, „Delta”, kwiecień 2014, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-10-30].
  3. Eric W. Weisstein, Trigonometric Addition Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].
  4. Eric W. Weisstein, Double-Angle Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].
  5. a b c Eric W. Weisstein, Multiple-Angle Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].
  6. Eric W. Weisstein, Half-Angle Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].
  7.   Zastosowanie wzorów na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych do dowodzenia tożsamości trygonometrycznych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-05-02].
  8. Eric W. Weisstein, Prosthaphaeresis Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].
  9. Eric W. Weisstein, Werner Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].
  10. Eric W. Weisstein, Trigonometric Power Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-29].

Linki zewnętrzne

edytuj