Tożsamości trygonometryczne

Tożsamości trygonometryczne – podstawowe zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.

Tożsamości pitagorejskie

Wzór

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,$

jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej (a nawet zespolonej, przy przyjęciu ogólniejszych definicji). Tożsamość ta uznawana jest za podstawową tożsamość trygonometryczną. Zwana często jedynką trygonometryczną bądź trygonometrycznym twierdzeniem Pitagorasa. Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:

$\sec ^{2}x-{\text{tg}}^{2}\ x=1$

$\csc ^{2}x-{\text{ctg}}^{2}\ x=1$

Okresowość funkcji

Funkcje trygonometryczne są okresowe $(k\in \mathbb {Z} )$:

${\begin{array}{ll}\sin x=\sin(x+2k\pi )&{\text{tg }}x={\text{tg }}(x+k\pi )\\\cos x=\cos(x+2k\pi )&{\text{ctg }}x={\text{ctg }}(x+k\pi )\end{array}}$

Definicje tangensa i cotangensa

${\text{tg }}x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

${\text{ctg }}x={\frac {\cos x}{\sin x}}$

Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinus

$|\sin x|={\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$

$|{\text{tg }}x|={\frac {|\sin x|}{|\cos x|}}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{|\cos x|}}$

$|{\text{ctg }}x|={\frac {|\cos x|}{|\sin x|}}={\frac {|\cos x|}{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$

Przedstawienia przy pomocy funkcji sinus

$|\cos x|={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$

$|{\text{tg }}x|={\frac {|\sin x|}{|\cos x|}}={\frac {|\sin x|}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$

$|{\text{ctg }}x|={\frac {|\cos x|}{|\sin x|}}={\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}{|\sin x|}}$

Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych

${\begin{array}{ll}\sin(-x)=-\sin x&{\text{tg }}(-x)=-{\text{tg }}x\\\cos(-x)=\cos x&{\text{ctg }}(-x)=-{\text{ctg }}x\end{array}}$

• sinus, tangens, cotangens i cosecans są funkcjami nieparzystymi
• cosinus i secans są funkcjami parzystymi

Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami

Równości

${\begin{aligned}&\sin x=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)&&\cos x=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\[.2em]&{\text{tg }}x={\text{ctg}}\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)&&{\text{ctg }}x={\text{tg}}\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\[.2em]&\sec x=\csc \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)&&\csc x=\sec \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\end{aligned}}$

nazywa się związkami pomiędzy funkcjami a ich kofunkcjami. Kofunkcją sinusa jest cosinus, cosinusa sinus, tangensa cotangens itd.

Odwrotności

Funkcje trygonometryczne można układać w pary według kofunkcji lub według odwrotności. Odwrotnością sinusa jest cosecans, cosinusa secans, tangensa cotangens (i oczywiście na odwrót):

${\begin{aligned}&\displaystyle {\sin x={\frac {1}{\csc x}}}&\csc x={\frac {1}{\sin x}}\\[.5em]&\cos x={\frac {1}{\sec x}}&\sec x={\frac {1}{\cos x}}\\[.5em]&{\text{tg }}x={\frac {1}{{\text{ctg }}x}}&{\text{ctg }}x={\frac {1}{{\text{tg }}x}}\end{aligned}}$

Funkcje sumy i różnicy kątów

$\sin(x\pm y)=\sin x\cdot \cos y\pm \cos x\cdot \sin y$

Sinus i cosinus sumy kątów

$\cos(x\pm y)=\cos x\cdot \cos y\mp \sin x\cdot \sin y$

Sinus i cosinus różnicy kątów

${\text{tg }}(x\pm y)={\frac {{\text{tg }}x\pm {\text{tg }}y}{1\mp {\text{tg }}x\cdot {\text{tg }}y}}$

Tangens sumy kątów

Tangens różnicy kątów

Cotangens sumy kątów

${\text{ctg }}(x\pm y)={\frac {{\text{ctg }}x\cdot {\text{ctg }}y\mp 1}{{\text{ctg }}y\pm {\text{ctg }}x}}$

Cotangens różnicy kątów

Dowód

Na mocy wzoru Eulera: $e^{xi}=\cos x+i\sin x$ oraz $e^{yi}=\cos y+i\sin y;$ wymnożenie obu równości stronami daje: $e^{i\left(x+y\right)}=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y+i\left(\sin x\cos y+\cos x\sin y\right).$ Z drugiej strony, znów na mocy wzoru Eulera: $e^{i\left(x+y\right)}=\cos(x+y)+i\sin(x+y).$ Porównanie części rzeczywistych i urojonych odpowiednich stron daje dwa pierwsze wzory. Dwa kolejne wynikają z poprzednich, jeżeli wyrazić ${\text{tg}}$ i ${\text{ctg}}$ przez $\sin$ i $\cos .$

Funkcje wielokrotności kątów

Wzory na dwukrotność kąta otrzymuje się przez podstawienie $y=x$ we wzorach na funkcje sumy kątów.

$\sin(2x)=2\sin x\cdot \cos x$

$\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1$

${\text{tg }}2x={\frac {2{\text{tg }}x}{1-{\text{tg}}^{2}\ x}}$

${\text{ctg }}2x={\frac {{\text{ctg }}x-{\text{tg }}x}{2}}={\frac {{\text{ctg}}^{2}\ x-1}{2{\text{ctg }}x}}$

$\sin 3x=3\sin x-4\sin ^{3}x$

$\cos 3x=4\cos ^{3}x-3\cos x$

${\text{tg }}3x={\frac {3{\text{tg }}x-{\text{tg}}^{3}\ x}{1-3{\text{tg}}^{2}\ x}}$

${\text{ctg }}3x={\frac {{\text{ctg}}^{3}\ x-3{\text{ctg }}x}{3{\text{ctg}}^{2}\ x-1}}$

$\sin 4x=8\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin x=4\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin ^{3}x$

$\cos 4x=8\cos ^{4}x-8\cos ^{2}x+1=8\sin ^{4}x-8\sin ^{2}x+1=\cos ^{4}x-6\cos ^{2}x\sin ^{2}x+\sin ^{4}x$

${\text{tg }}4x={\frac {4{\text{tg }}x-4{\text{tg}}^{3}\ x}{1-6{\text{tg}}^{2}\ x+{\text{tg}}^{4}\ x}}$

${\text{ctg }}4x={\frac {{\text{ctg}}^{4}\ x-6{\text{ctg}}^{2}\ x+1}{4{\text{ctg}}^{3}\ x-4{\text{ctg }}x}}$

Ogólnie:

$\sin nx=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i+1}\cos ^{n-2i-1}x\sin ^{2i+1}x=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i+1}\cos ^{n-2i-1}x\sin ^{2i+1}x=$

$=n\cos ^{n-1}x\sin x-{n \choose 3}\cos ^{n-3}x\sin ^{3}x+{n \choose 5}\cos ^{n-5}x\sin ^{5}x-{n \choose 7}\cos ^{n-7}x\sin ^{7}x+\dots$

$\cos nx=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i}\cos ^{n-2i}x\sin ^{2i}x=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i}\cos ^{n-2i}x\sin ^{2i}x=$

$=\cos ^{n}x-{n \choose 2}\cos ^{n-2}x\sin ^{2}x+{n \choose 4}\cos ^{n-4}x\sin ^{4}x-{n \choose 6}\cos ^{n-6}x\sin ^{6}x+\dots$

${\text{tg }}nx=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{n \choose 2i+1}\operatorname {tg} ^{2i+1}x\cdot (-1)^{i}\cdot \left(\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{n \choose 2i}\operatorname {tg} ^{2i}x\cdot (-1)^{i}\right)^{-1}$

Funkcje kąta połówkowego

$\left|\sin {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}$

$\left|\cos {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}$

$\left|\operatorname {tg} {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}$

$\operatorname {tg} {\frac {1}{2}}x={\frac {1-\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}$

$\left|\operatorname {ctg} {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1+\cos x}{1-\cos x}}}$

$\operatorname {ctg} {\frac {1}{2}}x={\frac {1+\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1-\cos x}}$

Suma i różnica funkcji

$\sin x\pm \sin y=2\sin {\frac {x\pm y}{2}}\cdot \cos {\frac {x\mp y}{2}}$

$\cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cdot \cos {\frac {x-y}{2}}$

$\cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\cdot \sin {\frac {x-y}{2}}$

$\operatorname {tg} x\pm \operatorname {tg} y={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}}$

$\operatorname {tg} x+\operatorname {ctg} y={\frac {\cos(x-y)}{\cos x\sin y}}$

$\operatorname {ctg} x\pm \operatorname {ctg} y={\frac {\sin(y\pm x)}{\sin x\sin y}}$

$\operatorname {ctg} x-\operatorname {tg} y={\frac {\cos(x+y)}{\sin x\cos y}}$

$1-\cos x=2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}$

$1+\cos x=2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}$

$1-\sin x=2\sin ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi -{\frac {1}{2}}x\right)=2\cos ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}x\right)=\left(\sin {\frac {x}{2}}-\cos {\frac {x}{2}}\right)^{2}$

$1+\sin x=2\cos ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi -{\frac {1}{2}}x\right)=2\sin ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}x\right)=\left(\sin {\frac {x}{2}}+\cos {\frac {x}{2}}\right)^{2}$

Iloczyn w postaci sumy

$\cos x\cdot \cos y={\frac {\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}}$

$\sin x\cdot \sin y={\frac {\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}}$

$\sin x\cdot \cos y={\frac {\sin(x-y)+\sin(x+y)}{2}}$

$\sin x\cdot \sin y\cdot \sin z={\frac {\sin(x+y-z)+\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z)}{4}}$

$\sin x\cdot \sin y\cdot \cos z={\frac {-\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)-\cos(x+y+z)}{4}}$

$\sin x\cdot \cos y\cdot \cos z={\frac {\sin(x+y-z)-\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)+\sin(x+y+z)}{4}}$

$\cos x\cdot \cos y\cdot \cos z={\frac {\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z)}{4}}$

Potęgi w postaci sumy

$\sin ^{2}x={\frac {1-\cos 2x}{2}}$

$\cos ^{2}x={\frac {1+\cos 2x}{2}}$

$\sin ^{2}x\cos ^{2}x={\frac {1-\cos 4x}{8}}={\frac {\sin ^{2}2x}{4}}$

$\sin ^{3}x={\frac {3\sin x-\sin 3x}{4}}$

$\cos ^{3}x={\frac {3\cos x+\cos 3x}{4}}$

$\sin ^{4}x={\frac {\cos 4x-4\cos 2x+3}{8}}$

$\cos ^{4}x={\frac {\cos 4x+4\cos 2x+3}{8}}$

$\sin ^{2}x-\sin ^{2}y=\sin(x+y)\cdot \sin(x-y)$

Funkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kąta

$\sin x={\frac {2{\text{tg}}{\frac {x}{2}}}{1+{\text{tg}}^{2}{\frac {x}{2}}}}$

$\cos x={\frac {1-{\text{tg}}^{2}{\frac {x}{2}}}{1+{\text{tg}}^{2}{\frac {x}{2}}}},$

${\text{tg }}x={\frac {2{\text{tg}}{\frac {x}{2}}}{1-{\text{tg}}^{2}{\frac {x}{2}}}}$

Powyższe tożsamości znalazły zastosowanie w tzw. podstawieniu uniwersalnym, stosowanym przy obliczaniu całek typu $\int R(\sin x,\cos x,{\text{tg }}x)dx,$ gdzie $R(u,v,w)$ jest funkcją wymierną zmiennych $u,v,w.$ Stosuje się podstawienie:

${\text{tg}}{\frac {x}{2}}=t$

$x=2\operatorname {arctg} \;t+2k\pi$

$dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt.$

Wzory Eulera

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

$\operatorname {tg} x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{(e^{ix}+e^{-ix})i}}$

$\operatorname {ctg} x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}}i$

Wzory te pozwalają łatwo przekształcać wyrażenia trygonometryczne, poprzez przejście na postać zespoloną (cztery ostatnie wzory), uproszczenie i powrót na postać trygonometryczną (pierwszy wzór).

Inne zależności między funkcjami trygonometrycznymi

${\text{tg }}x+\sec x={\text{tg}}\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right).$

Wzór de Moivre’a

$\cos(nx)+i\sin nx=(\cos x+i\sin x)^{n}\qquad n\in \mathbb {N}$

lub ogólniej:

$[r(\cos x+i\sin x)]^{n}=r^{n}(\cos nx+i\sin nx)\qquad n\in \mathbb {N}$

Zobacz też

• trygonometryczne wzory redukcyjne