Topologia ilorazowa

Topologia ilorazowa – w topologii, dziale matematyki, najbogatsza topologia[a] określona na zbiorze ilorazowym, wyznaczonym przez relację równoważności określoną na danej przestrzeni topologicznej, względem której odwzorowanie ilorazowe[b] jest ciągłe. Szczególne przypadki topologii ilorazowych badali jako pierwsi Robert Lee Moore[1] oraz Paweł Aleksandrow[2].

DefinicjeEdytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną, zaś   oznacza pewną relację równoważności określoną na   Niech   oznacza odwzorowanie ilorazowe zbioru   w zbiór ilorazowy   dane wzorem   nazywane też naturalnym przekształceniem ilorazowym bądź krótko przekształceniem naturalnym.

Rodzinę zbiorów

 

tworzącą topologię w zbiorze   nazywa się topologią ilorazową przestrzeni   względem relacji   z kolei zbiór   z topologią ilorazową   nazywa się przestrzenią ilorazową  

Jeżeli   oraz relacja   utożsamia ze sobą punkty zbioru   tzn.   jest   to przestrzeń ilorazową   nazywa się przestrzenią otrzymaną z   przez sklejenie zbioru   do punktu i oznacza symbolem  

WłasnościEdytuj

Niech   i   będą przestrzeniami topologicznymi oraz   będzie relacją równoważności w zbiorze   Wówczas

  • zbiór   jest domknięty w przestrzeni ilorazowej   wtedy i tylko wtedy, gdy   jest domkniętym podzbiorem  
  • przekształcenie   jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie   jest ciągłe;
  • jeżeli   i  przestrzeniami Hausdorffa, zaś   takim ciągłym i odwzorowaniem „na”, że   oraz dla pewnego zbioru zwartego   jest   to odwzorowanie   dane wzorem   jest homeomorfizmem.

Jeżeli   jest domkniętym podzbiorem zwartej podprzestrzeni   przestrzeni euklidesowej   to przestrzeń   można zanurzyć w   bez założenia o zwartości można wskazać takie zbiory   oraz   dla których przestrzeń   jest niemetryzowalna.

PrzykładyEdytuj

Przestrzeń ilorazowa   określona na prosta rzeczywistej   (z naturalną topologią euklidesową) i rozumiana jako grupa ilorazowa grupy liczb rzeczywistych   przez podgrupę liczb całkowitych  [c] jest tożsama z przestrzenią   wyznaczoną przez relację równoważności   zdefiniowaną dla dowolnych   warunkiem   Jest ona homeomorficzna z okręgiem jednostkowym   na płaszczyźnie euklidesowej[d].

Przestrzeń ilorazowa   określona na   (z topologią jw.) poprzez sklejenie podzbioru liczb całkowitych   jest różna od wyżej opisanej przestrzeni  : przestrzeń ta jest homeomorficzna z nieskończonym bukietem okręgów sklejonych w pojedynczym punkcie i powstaje z wykorzystaniem relacji równoważności   zdefiniowanej dla dowolnych   warunkiem  

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Tj. topologia o możliwie największej ilości zbiorów otwartych.
  2. Tzn. dla ustalonej relacji równoważności odwzorowanie przyporządkowujące danemu elementowi przestrzeni klasę abstrakcji do której należy.
  3. W innym ujęciu: grupa   działa na grupie   poprzez przesunięcia.
  4. Niech   będzie dane wzorem   Ponieważ   oraz   to odwzorowanie   dane wzorem   jest homeomorfizmem (na mocy jednej z własności). Przekształcenie   można interpretować jako nawinięcie prostej na okrąg (każdy przedział   „nawija się” jednoznacznie na cały okrąg).

PrzypisyEdytuj

  1. Moore, Robert Lee. Concerning upper semi-continuous collections of continua, Transactions of the American Mathematical Society 27 (1925), s. 414–428.
  2. Александров, Павел Сергеевич. Über stetige Abbildungen kompakter Räume, Math. Ann. 96 (1927), s. 555–571.

BibliografiaEdytuj

  • S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005.
  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 122–123.